Вопрос 6

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП

 

Пусть ФКП   определена в точках несамопересекающейся дуги  , расположенной в  –плоскости. Дуга   ориентирована от точки    к точке  , причем точка   соответствует  , точка    .

Рассмотрим произвольное разбиение дуги   системой точек   такое, что  ,   и   упорядочены по длине дуги от точки   до конечной точки разбиения  .

В ыберем на дуге   произвольную систему точек   так, чтобы точка   лежала на дуге между точками   и    (см. рисунок).

Сумма  , где  , называется интегральной суммой функции    по дуге  , соответствующей разбиению   и выбору точек системы  , ее значение зависит от разбиения   и выбора точек  .

Обозначим   – диаметр разбиения.

Интегралом ФКП    по дуге   называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое   и равное пределу интегральной суммы функции   при  , независимое от разбиения   и выбора точек системы  , т.е.

. (1)

Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге   ФКП   и кусочно-гладкой дуги    интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю:  .          Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим  вследствие условий Коши-Римана  . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.          Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл   имеет одинаковое значение.          Доказательство полностью повторяет доказательство Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение L₁∪L₂⁻ кривых - замкнутый контур, поэтому  .          Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция w = f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D. 

Вопрос 8 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования). Теория операторов. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Пусть D и R - действительные линейные или векторные пространства, необязательно различные. Их элементами являются векторы, поэтому сумма двух элементов и произведение элемента на скаляр определены и удовлетворяют обычным условиям, предъявляемым к векторам. Существование конечных базисов в D и R необязательно. Пусть r, вектор из R, соответствует вектору d из D. Обозначим это соответствие T(d) = r или Td = r. Тогда T называется оператором с областью определения D и областью значений R. Оператор T является дистрибутивным, если

где l и l' - любые действительные числа, а d и d' - любые элементы из D. Если D и R - топологические векторные пространства, в которых ld и d + d' - непрерывные операции, то дистрибутивный непрерывный оператор называется линейным оператором. Если Q содержит D и R, то T2(d) определяется как T(T(d)) и аналогичным образом определяется Tn(d), если все эти операции имеют смысл. Двумя важными дистрибутивными операторами являются операторы дифференцирования p и интегрирования p-1. Элементами линейных пространств D и R в этом случае будут функции переменной x. Имеем

где m и n - неотрицательные целые числа. Так как интегрирование приводит к появлению произвольной постоянной, p-1p необязательно является тождественной операцией p0. Формальные правила комбинирования таких операторов восходят к Дж. Булю (1815-1864); например,

по теореме Тейлора). В исчислении, пространство D ограничено областью определения функций f (x), тождественно равных нулю при отрицательных x. Главную роль играет функция 1(x), равная 0 при отрицательных x и 1 при неотрицательных x. Приведем некоторые "правила" исчисления Хевисайда:

Если n! заменить гамма-функцией Г(n + 1), то первое из правил останется в силе и при нецелых n.Основным результатом операционного исчисления принято считать теорему о композиции, или свертке, согласно которой, если F1(p)1(x) = f1(x) и F2(p)1(x) = f2(x), то

Применяя теорему о свертке к pa при a № 0, -1, -2,..., можно определить интегрирование или дифференцирование дробного порядка. Например, рассмотрим выражение

где функция y(x) и ее первые n - 1 производных обращаются в нуль при x = 0. Пусть y(x) = Y(p)1(x), g(x) = G(p)1(x). Примем

Предположим, что f (x) = F(p)-11(x). Тогда

Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласа функции f (t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством                   .          Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству Re p ≥ σ₁, где σ₁ - произвольной число, такое, что σ₁ > σ₀. Действительно,   (так к ак | e ^{−i Im p·t}| = | cos(Im p·t) − i sin(Im p·t)| = 1) =M | e ^−Re p·t|·e ^·σ₀^t = M e ^{−(Re p − σ}₀^) t ≤ M e ^−(σ₁ ^{− σ}₀^) t, а интеграл   сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F(p) определено в любой точке p, такой что Re p > σ₀, т.е. в полуплоскости справа от прямой Re p = σ₀. Как следствие, показатель скорости роста оригинала число σ₀ часто называют абсциссой сходимости.          Заметим, что мы доказали также, что  : так как | e ^−pt·f (t)| ≤ M e ^{−(Re p − σ}₀^) t, то    . Кроме того, в оценке | e ^−pt·f (t)| ≤ M e ^−(σ₁ ^{− σ}₀^) t мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от p, интеграл от которой сходится. Как и в теории функциональных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной p, поэтому функцию F(p) можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.