Вопрос 4

  Понятие функции комплексного переменного   

Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции.

Определение. Если А –  некоторое множество комплексных чисел z (геометрически –  множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w  В (где В –  также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ).

Записывают: w  = f (z).

         Множество А называют областью определения функции, В –  множество, состоящее из значений, принимаемых функцией, называют областью значений функции.

        Принято множества А и В, изображать на отдельных комплексных плоскостях (см. рис. 5): плоскость z комплексных чисел z  = х + i у и плоскость w комплексных чисел w = u + i v .

        При этом точка w₀  = f (z₀) называется образом точки z₀, а z₀–  прообразом точки w₀.

        В частности, если А расположено на действительной оси ох, то z  = х является действительным переменным. Если же все значения w также действительны, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

В общем случае z  = х + i у, w  = u (х, у) +  i v (х, у).

        Геометрически функцию f (z ) можно рассматривать как отображение множества А на множество В, переводящее точку (х, у) множества А в точку ( u, v ) множества В. Высказывание “ функция w  = f (z) определена на множестве А” эквивалентно следующему: “ каждой точке (х, у) из А поставлены в соответствие действительные числа  u   и v ” . Иными словами, на множестве А определены две действительные функции

 и   двух действительных переменных х и у. Итак, задание функции комплексного переменного w  = f (z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных   и   .

        Например, соотношение w = z² = (x +iy)² = x² – y² + i2xy   эквивалентно следующим: u = x² – y², v = 2xy.

Пример 1. Дана функция   f (z) = z³ + i . Найти мнимую и действительную части этой функции.

Решение.  f (z) = (х + i у)³ + i = x³ + 3x²iy + 3x(iy)² + (iy)³ +  i = x³ – 3xy²  + i (3x²y – y³ + 1).

Откуда u(x,y) = x³ – 3xy² , v(x,y) =  3x²y – y³ + 1.

Замечание.

.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называют основными элементарными функциями:

1. Дробно-рациональная функция

2. Показательная функция:

Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z.

Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2pi, т. е.

.

3. Тригонометрические функции:

4. Гиперболические функции:

 

5. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция Lnz, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем

6. Общая степенная функция:

, a C.

Эта функция многозначная, её главное значение равно  .

При a=1/n, n  N получаем многозначную функцию – корень n-й степени из z:

7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.

a)

б)