Т еорема Вычетов.
Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L. Тогда .
Док-во. Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …,n контуром таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, , функция аналитична, поэтому по 19.6.2.2. Теореме Коши для многосвязной области
. По определению вычета, , следовательно, , что и требовалось доказать.
№11 Основные формулы теории вероятности.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)
.
События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АВ=. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Условная вероятность и теорема умножения.
Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)
.
Формула умножения для трех событий:
.
Независимость событий.
два события A и B независимы, если справедливо равенство
Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Противоположные события. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать
.
З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы
p + q = l
З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле
.
№13 Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. наивероятнейшее число наступления события. Формула Пуассона
Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: ; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем раз и не более, чем раза:
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
, где и
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
, где
Функции j(´) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций:j(-x)=j(x); Ф(-х)=-Ф(х); Ф(0)=0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
, где l=n×p.
Число успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке np – q£ m £ np+p.
Формула Бернулли
Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .
Наивероятнейшее число наступления события
Число k0 называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства
np-q≤k0≤np+p,
причем:
а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0;
б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1;
в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр.