- •11.Знать определение простейшей рациональной дроби и уметь представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей
- •12.Знать определение первообразной и доказывать теорему, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную
- •13.Доказывать основные свойства неопределённого интеграла
- •14. Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям
- •15.Выводить формулы интегрирования простейших рациональных дробей
- •16. Излагать приёмы вычисления интегралов вида:
- •17.Знать определение определенного интеграла. Формулировать теорему существования определенного интеграла.
- •18.Доказывать основные свойства определенного интеграла
- •19. Доказывать теорему о среднем.
- •20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница
- •21.Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла
- •22.Выводить формулы, использующие понятие определенного интеграла для его геометрических и механических приложений.
- •27.Знать определение предела и непрерывности функции двух переменных
- •28.Сформулировать свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области
- •29.Знать определение частных производных. Уметь выводить формулы производной сложной функции двух переменных, полной производной, производной неявной функции
- •30.Знать определение дифференцируемости функции, доказывать теоремы о необходимом условии дифференцируемости, о достаточном условии дифференцируемости
- •33. Формула касательной к плоскости и нормали
- •34.Необходимые условия экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума (2 вариант)
- •39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять
- •41.Знать формулы Грина
39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять
Определения.Пусть — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.
- (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.
Пусть — разбиение отрезка параметризации , причем .
Зададим разбиение кривой .
За обозначим часть кривой от точки до точки , .
Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .
Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .
Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .
Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .
Рассмотрим 4 интегральные суммы.
1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
.
2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
,
,
.
Если , то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают . Здесь — дифференциал кривой.
Если , , , то говорят, что функции , и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций , и по кривой и обозначают
Сумму криволинейных интегралов второго рода функций , и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:
.
Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .
1 Рода.
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда
.
Здесь точкой обозначена производная по : .
2 Рода.
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда
,
,
.
Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой , то нетрудно показать, что
41.Знать формулы Грина