- •11.Знать определение простейшей рациональной дроби и уметь представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей
- •12.Знать определение первообразной и доказывать теорему, что две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную
- •13.Доказывать основные свойства неопределённого интеграла
- •14. Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям
- •15.Выводить формулы интегрирования простейших рациональных дробей
- •16. Излагать приёмы вычисления интегралов вида:
- •17.Знать определение определенного интеграла. Формулировать теорему существования определенного интеграла.
- •18.Доказывать основные свойства определенного интеграла
- •19. Доказывать теорему о среднем.
- •20.Доказывать теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу и выводить формулу Ньютона–Лейбница
- •21.Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла
- •22.Выводить формулы, использующие понятие определенного интеграла для его геометрических и механических приложений.
- •27.Знать определение предела и непрерывности функции двух переменных
- •28.Сформулировать свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области
- •29.Знать определение частных производных. Уметь выводить формулы производной сложной функции двух переменных, полной производной, производной неявной функции
- •30.Знать определение дифференцируемости функции, доказывать теоремы о необходимом условии дифференцируемости, о достаточном условии дифференцируемости
- •33. Формула касательной к плоскости и нормали
- •34.Необходимые условия экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума
- •35. Достаточное условие экстремума (2 вариант)
- •39. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода и уметь их вычислять
- •41.Знать формулы Грина
33. Формула касательной к плоскости и нормали
Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x0, y0, z0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.
Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка P (x0, y0, z0) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.
Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) – параметрические уравнения линии L.
Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.
Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.
Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x0, y0, z0):
.
Пусть точке Р соответствует значение параметра t0, то есть x0 = x (t0), y0 = y (t0), z0 = z (t0). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид
. (17)
Формула (17) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор
,
не зависящий от выбора кривой на поверхности .
Второй вектор – касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.
П ри введённых обозначениях равенство (17) перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точку Р на поверхности s , мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы
расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s , а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.
Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.
Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:
; (18)
(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x0, y0, z0) к поверхности s , заданной уравнением F(х, у, z) = 0;
; (19)
– уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .
34.Необходимые условия экстремума
Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и .
Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0- ,x0+ ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.
f(x) < f(x0)(или f(x)>f(x0))
Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x0) выполняется строгое неравенство
f(x)<f(x0)(или f(x)>f(x0)
то говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1 , то, применяя к промежутку [x0,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.Из рисунка 1 видно, что в точках х1 и х3 локальные максимумы, а в точках х2 и х4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х0- ,х0+ ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.
Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое