- •Определенный интеграл.
- •1. Длина пути.
- •2. Площадь криволинейной трапеции.
- •Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков:
- •Суммы Дарбу.
- •Критерий интегрируемости функции.
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла.
- •Оценки интегралов.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически.
- •Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
- •2. Полярная система координат (пск).
- •Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
- •Длина кривой.
- •Длина дуги кривой, заданной явным уравнением.
- •Длина дуги кривой в полярных координатах.
Определенный интеграл.
1. Длина пути.
Тело движется по прямой, причем его скорость в момент времени t равна v(t), t[a,b]. Требуется найти значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b).
Разбиваем промежуток времени [a,b] произвольным образом на n частичных промежутков [ti,ti+1], i=0,1,2,…,n-1 (a=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=b).
Полагаем ti=ti+1-ti, =max{t0,t1,…,tn-1}. Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течении промежутка времени [ti,ti+1] скорость v(t) тела можно приближенно считать постоянной, равной v(i), где i[ti,ti+1]. Тогда значение пути Si, t=ti t=ti+1
Siv(i)(ti+1-ti)=v(i)ti
Значение всего пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b, будет приближенно выражаться суммой, состоящей из n слагаемых
Sv(0)t0+v(1)t1+…+v(n-1)tn-1= v(i)ti (1)
Чем меньше частичные промежутки времени [ti,ti+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая движение в течении всего промежутка [ti,ti+1] равномерным.
Поэтому за путь S, пройденный телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), принимаем предел суммы (1) при 0, т.е.
S= (2)
2. Площадь криволинейной трапеции.
П усть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция y=f(x), принимающая лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой y=f(x), прямыми х=а, х= b и отрезком оси Ох. Такая фигура называется криволинейной трапецией.
(Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, можно заменить кривую y=f(x) на некоторую ломаную, расположенную близко к ней. Фигура под ломаной состоит из прямоугольников, значит площадь всей фигуры равна сумме площадей прямоугольников. Т.к. ломаная расположена близко кривой, то S≈Sл.).
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков:
а=х0<x1<…<xn-1<xn=b
и через точки разбиения проведем отрезки прямых параллельно оси Оу. Криволинейная трапеция разобьется при этом на n полос. Заменим приближенно каждую полосу прямоугольником, основание которого тоже, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, например с крайней слева.
Т.о., криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.
Обозначим через х0,x1,…,xn-1,xn – точки разбиения. Такую систему точек называют разбиением. Разбиений бесконечно много.
Основание i –го прямоугольника (i=0,1,2,…,n-1) равно разности ∆хi=xi+1-xi–длина частичного отрезка.
На каждом отрезке [xi;xi+1] выберем точку ξi.
Тогда площадь i-го прямоугольника Si=f(ξi) ∆i.
Тогда площадь криволинейной трапеции S≈
Чем меньше частичные отрезки [хi,хi+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, заменяя полосу криволинейной трапеции прямоугольником на [хi,хi+1].
Поэтому за площадь S криволинейной трапеции принимаем предел суммы при 0, т.е.
S= (3)
Определение. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] произвольным образом на n отрезков: а=х0<x1<…<xn-1<xn=b – разбиение Р.
Наибольшую из разностей ∆хi=xi+1-xi (i=0,1,2,…,n-1) обозначим через λ
λ= -длина наибольшего частичного отрезка разбиения Р. При 0, n.
На каждом отрезке [xi-1;xi] выберем произвольную точку ξi.
Составим сумму σ= - интегральная сумма Римана для функции f(x) на отрезке [a;b]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками х0,x1,…,xn-1,xn, так и от выбора точек ξ1,ξ2,…,ξn на каждом из отрезков разбиения [xi;xi+1], i=0,1,2,…,n-1. Поэтому σ=σ(Р, ξ).
Рассмотрим предел этой суммы при 0 (n).
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы σ при λ→0, и этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части [xi;xi+1], ни от способа выбора точек ξi. в [xi;xi+1], i=0,1,2,…,n-1, то он называется определенным интегралом от функции f(x) в промежутке [a;b] и обозначается
I=
Т.о. = (4)
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на [a;b].
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) –подынтегральной функцией, х- переменная интегрирования.
Определение можно ввести на “языке δ-ε”
Число I называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b], если
>0 =δ(ε): >0 независимо от выбора точек ξi выполняется неравенство
<0 (5)
Буква, обозначающая переменную интегрирования не имеет значение, т.е.
= = =…
т.к. смена обозначений не влияет по поведение интегральной суммы.
В отличии от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл является определенным числом.
Т.о. в задаче 1 значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), определяется по формуле: S=
Геометрический смысл определенного интеграла вытекает из задачи 2 о площади криволинейной трапеции.
На промежутке [xi;xi+1] функция f(x) достигает своих наименьшего и наибольшего значений: mi=f( ) и Mi=f( ), где [xi;xi+1], [xi;xi+1]. Рассмотрим два прямоугольника. У них общим основанием является отрезок [xi;xi+1], а высотами являются соответственно mi и Mi. (Рисунок). Тогда
mi(xi+1-xi)SiMi(xi+1-xi), i=0,1,2,…,n-1.
Просуммировав эти неравенства по i=0,1,2,…,n-1, получим:
или (6)
В этом неравенстве суммы и являются интегральными суммами Римана для функции f(x) в промежутке [a,b].
Переходя в неравенстве (6) к пределу при 0, получаем: S=
Т.о., если функция f(x) неотрицательна, то числено равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x) на отрезке [a;b].
Например, =1 – площадь квадрата со стороной 1, - площадь прямоугольного треугольника, - площадь четверти круга с радиусом 1.
Необходимое условие интегрируемости функции.
Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке, т.е. С: [a;b] |f(x)|≤С.
Доказательство. (С.М. Никольский, А. П. Аксенов, ч.1)
Допустим, функция f(x) не ограничена на [a;b]. Следовательно, она неограниченна хотя бы на одном из отрезков [xi;xi+1] разбиения, допустим на отрезке . Тогда интегральная сумма имеет вид: σ= + = +А
Все ξi, входящие во второе слагаемое, произвольны, но фиксированы. Тогда
Возьмем сколь угодно большое число N: >N (*)
В силу неограниченности f(x) на найдется точка для которой выполняется неравенство (*).
Т.о., если f(x) не ограничена на [a;b], то каковы бы ни были число N>0 и разбиение Р, соответствующая Р интегральная сумма путем выбора точек ξi может быть сделана больше N по абсолютной величине. Следовательно, f(x) не интегрируема на [a;b].Ч.т.д.
Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. не любая функция f(x), заданная на отрезке [a;b] и ограниченная на нем, интегрируема на [a;b].
Пример функции ограниченной, но не интегрируемой (по Риману).
Функция Дирихле на отрезке [a;b].
D(x)= разрывна в каждой точке.
Покажем, что функция Дирихле не является интегрируемой на произвольном отрезке [a;b].
Разобьем промежуток [a;b] произвольным образом на части [xi;xi+1], i=0,1,…,n-1.
(а=х0<x1<…<xn-1<xn=b). Если в качестве точек ξi в [xi;xi+1] брать рациональные точки, то получим
σ= = =b-а.
Если в качестве точек ξi в [xi;xi+1] брать иррациональные точки, то получим
σ= = =0.
Т.о., для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, независящего от выбора точек ξi в [xi;xi+1]. Следовательно, D(x) не интегрируема на [a;b].