- •Несобственные интегралы.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
- •Геометрический смысл несобственного интеграла.
- •Признаки сходимости.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
- •Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода.
- •Признак Абеля-Дирихле.
- •Основная формула интегрального исчисления для несобственных интегралов.
- •Интегрирование по частям несобственных интегралов.
- •Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах.
Несобственные интегралы.
Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.
Н о на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).
Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.
Определение. Если существует конечный предел
(1),
То этот предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .
Т.о. по определению имеем: =
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.
Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
исследование вопроса о сходимости данного интеграла;
вычисление значения интеграла, если он сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.
Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:
= (2)
Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).
Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда
= + (3)
При этом интеграл сходящийся. Если хотя бы один из интегралов или расходится, то не собственный интеграл называется расходящимся.
Это определение не зависит от выбора числа а.
Пример 1. I= = = +
= =0- =
= = -0=
I= + =
Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).
Пусть р1, тогда
= =
При b это выражение имеет пределом , если р<1 или конечное число , если р>1.
Если р=1, то = =
При b это выражение имеет пределом .
Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р1 – расходится.
Геометрический смысл несобственного интеграла.
П ри f(x)≥0 интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Несобственный интеграл выражает площадь бесконечной области, заключенной между кривой у=f(x), осью Ох и прямой х=а. Аналогично определяет геометрический смысл интегралов и .
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= (локон Аньези) и осью Ох.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Т.к. =0, то ось Ох является горизонтальной асимптотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бесконечной области, т.е. требуется вычислить несобственный интеграл .
Т.к. функция у= четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, следовательно,
S= =2 =2 =2 (arctg t-arctg 0)=2 =π.
Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение.