- •Компьютерное моделирование в пакете matlab/Simulink
- •© Сибирский федеральный университет, 2011
- •Оглавление
- •Общие сведения
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •Краткие теоретические сведения
- •Указания к выполнению
- •Порядок выполнения работы
- •Задания для самоподготовки
- •Решение транспортной задачи
- •Краткие теоретические сведения
- •Указания к выполнению
- •Исходные данные для транспортной задачи
- •Задания для самоподготовки
- •Указания к выполнению
- •Порядок выполнения работы
- •Задания для самоподготовки
- •Моделирование движения маятника
- •Краткие теоретические сведения
- •Указания к выполнению
- •Порядок выполнения работы
- •Задания для самоподготовки
- •Модель полЕта двухступенчатой ракеты
- •Краткие теоретические сведения
- •Указания к выполнению
- •Указания к выполнению
- •Порядок выполнения работы
- •Задания для самоподготовки
- •Построение НепараметрическОй Оценки Регрессии
- •Краткие теоретические сведения
- •Указания к выполнению
- •Порядок выполнения работы
- •Задания для самоподготовки
- •Библиографический список
- •Компьютерное моделирование в пакете matlab/Simulink
- •Агафонов Евгений Дмитриевич
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 82а.
Порядок выполнения работы
1. Записать обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника (невесомого стержня на подвесе с грузом), совершающего колебания в одной плоскости в поле гравитационных сил и испытывающего сопротивление окружающей среды.
2. Представить полученное дифференциальное уравнение в интегральной форме. Собрать из блоков в среде Simulink соответствующую этому описанию модель.
3. Задать параметры маятника и выбрать начальные условия. Отобразить на графике зависимость угла отклонения маятника от времени.
4. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.
Задания для самоподготовки
1. Самостоятельно выведите уравнение движения маятника.
2. Экспериментальным путем покажите влияние массы и длины маятника на характер его колебаний.
3. В справочной системе Simulink найдите описание блока X-Y Plot. Примените этот блок для построения траектории движения маятника на фазовой плоскости.
4. Постройте математическую модель пружинного маятника и реализуйте ее в системе Simulink.
Лабораторная работа 5
Модель полЕта двухступенчатой ракеты
Цель работы: построить физическую модель полета реактивного летательного аппарата (ракеты) с применением закона сохранения импульса (при построении модели предполагается, что ракета имеет две ступени, функционирующие последовательно с целью увеличения максимальной скорости согласно принципу Циолковского); реализовать модель полета ракеты в среде Simulink.
Краткие теоретические сведения
Ракетная техника основана на принципе реактивного движения. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.
Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают выхлопные сопла со скоростью u. Величина u, как правило, постоянна и равна 3…5 км/с. За малый промежуток времени dt между моментами t и часть топлива выгорает, при этом масса изменяется на величину dm. Следовательно, изменяется и импульс ракеты, однако суммарный импульс системы «ракета плюс продукты сгорания» остается неизменным. Этот факт можно выразить следующей формулой:
где – скорость ракеты; – средняя за промежуток dt скорость газов, .
Правая часть этого равенства состоит из импульса ракеты в момент и импульса, переданного истекающим газом за время dt. Отбрасывая величины высокого порядка малости, получаем закон сохранения импульса в виде дифференциального уравнения
,
в котором правая часть представляет собой силу тяги ракетного двигателя. Это уравнение легко преобразовать к виду
,
,
при интегрировании которого получаем
,
где и – соответственно масса и скорость ракеты в начальный момент . Если принять и рассмотреть скорость ракеты в момент полного выгорания топлива, то получим результирующее выражение, называемое формулой Циолковского:
,
где – полезная масса (например, масса спутника); – структурная масса (масса ракетной конструкции, включая топливные баки, двигатель, систему управления и т. д., без массы топлива).
Формула Циолковского позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты для космических полетов. Для реальных соотношений масс и типичной скорости продуктов сгорания получаем максимальную скорость ракеты . Вывод, который можно отсюда сделать, таков: даже при идеальной ситуации (отсутствие гравитации и сопротивления воздуха, минимальная полезная масса) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. Поэтому необходимо использовать многоступенчатые ракеты.
Пусть – общая масса i-й ступени ракеты, – соответствующая структурная масса. Величины и скорость истечения газов u одинаковы для всех ступеней. Начальная масса двухступенчатой ракеты
.
В момент когда израсходовано все топливо первой ступени, масса ракеты станет
.
Применяя формулу Циолковского, получим скорость ракеты:
После достижения скорости структурная масса первой ступени отбрасывается и включается вторая ступень. Начиная с этого момента и до полного выгорания топлива второй ступени воспользуемся уже построенной моделью. Все рассуждения о сохранении суммарного импульса и соответствующие выкладки остаются в силе.
По формуле Циолковского после полного выгорания топлива во второй ступени ракета достигнет скорости
Введем следующие обозначения:
с учетом которых окончательно получим:
Нетрудно показать, что максимум полученного выражения достигается при условии