1.2. Функция полезности и её свойства. Первый закон Госсена
Учитывая возможности, предоставляемые аппаратом предельного и дифференциального исчисления, понятно стремление математиков перейти от системы предпочтений к количественному подходу, основоположниками которого были К. Менгер, С. Джевонс, Л. Вальрас. Количественный подход (кардиналистс-кий) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в гипотетических единицах полезности – ютилах (от английского utility – полезность). Такое название было предложено английским философом и социологом Дж. Бентамом. Экономисты неоднократно пытались избавиться от термина «полезность», предлагая другие варианты: «годность» (Н.Х. Бунге), «желаемость» (Ш. Жид), однако первоначальный вариант пережил своих критиков.
Система
предпочтений индивида указывает, какой
из двух наборов предпочтительнее для
него. Во многих случаях, однако, весьма
желательно и удобно оценивать
привлекательность набора товаров
количественно, т.е. приписать каждому
набору
из пространства товаров
какое-то число
.
Получается функция
:
.
Главное требование к такой функции -
она должна отражать отношение предпочтения
на
:
;
;
.
Такая
функция
называется функцией
полезности.
Функцию полезности наглядно и вполне правильно представлять себе, как функцию, ”пересчитывающую” кривые безразличия в сторону всё большего предпочтения наборов товаров.
Однако всегда ли по системе предпочтений можно построить функцию полезности? Оказывается при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, функция полезности существует.
Отношение
предпочтения называется непрерывным,
если
множества предпочтительности
и непредпочтительности
- замкнуты, т.е. существует граница:
∩
=кривая
безразличия (на одной кривой безразличия:
~
).
Рис. 7
Теорема Дебре. Если система предпочтения совершенна и непрерывна, то существует непрерывная функция полезности.
Надо отметить, что функция полезности, если она существует, не определяется единственным образом, т.е. таких функций множество. Кроме того:
если - функция полезности, то
- также функция полезности (
);если
- произвольная строго монотонно
возрастающая функция, то
- также функция полезности.
Будем
считать, что
- дифференцируемая функция своих
аргументов, тогда
называется предельной
полезностью
-го
товара в точке
(это прирост совокупной полезности
набора
при увеличении
-го
товара на единицу).
Вектор
называется вектором
предельных полезностей
и обозначается
(в математике вектор, составленный из
частных производных, называется
градиентом и показывает направление
наибольшего роста функции).
Система
предпочтений называется строго
выпуклой,
если
=>
,
.
Это означает, что множество предпочтительности
- строго выпукло (т.е.
отрезок
лежит весь внутри
.
Свойства функции полезности:
если
;
:
(1)
( это означает, что потребитель, даже если имеет набор , всё равно (ненасытный) желает ещё приобрести дополнительную единицу товара);
если
,
то
,
где
(это означает строгую выпуклость
функции полезности: лучше иметь
комбинацию товаров, пусть в меньших
количествах, чем какой-либо один из
товаров);матрица Гессе:
–отрицательно
определена
(т.е.
:
,
где
- вектор).
Из
свойства 4
следует, что:
,
(2)
т.е. предельная полезность товара уменьшается по мере увеличения его потребления (закон убывающей предельной полезности, который называется 1-ым законом Госсена).
Однако,
предельная полезность может увеличиваться
при возрастании потребления каких-либо
-го
и
-го
товаров:
(но не для всех товаров).
В экономических исследованиях часто используют конкретные виды функций полезности:
неоклассическая:
,
где
и
;квадратическая:
,
где
– отрицательно определенная матрица
и
;
логарифмическая:
,
где
,
;
пропорциональная:
.
Пример
2.1. Пусть
полезность задана функцией
.
Оцените изменение полезности, когда
потребление первого товара уменьшается
от 100
до 90,
а потребление второго товара увеличивается
от 225
до 250.
Решение:
По условию:
и
.
Оценку изменения функции даёт дифференциал функции:
.
и
.
и
.
Тогда изменение полезности:
.
Следовательно, полезность увеличилась на 0,83.
■