3.7.Означення генеральної та вибіркової середньої, довести...

Простою середньоарифметичною вибірки називають суму варіант вибірки, поділену на об'єм вибірки, її позначають де Хі (і = 1,2,..., m) - варіанти вибірки, n - об'єм вибірки. . Вибірковою середньою або зваже­ною середньоарифметичною називають середню ариф­метичну варіант вибірки з врахуванням їх частостей і позначають де п - об'єм вибірки, т - число різних варіант,

n1, n2,…, пт - частоти варіант (п = п1 + ... + пт), Хі - значення i-ої варіанти. Вибіркова середня є аналогом математичного сподівання і використовується дуже часто. Вона може приймати різні числові значення при різних вибірках однакового об'єму.

Тому можна розглядати розподіли (теоретичний та ем­піричний) вибіркової середньої та числові характеристики цього розподілу (цей розподіл називають вибірковим).

Основні властивості вибіркової середньої.

1. При множенні усіх варіант вибірки на однаковий множ­ник вибіркова середня також множиться на цей множник.

2. Якщо додати (відняти) до всіх варіант вибірки однакове число, то вибіркова середня зростає (зменшується) на це число.Ці властивості можна поєднати в одну формулу, яку нази­вають формулою моментів

3.8.Означення генеральних та вибіркових дисперсій та середнього квадр відхилення, формули

Генеральною середньою Dг наз середнє арифметичне квадратів відхилень значень ознак генеральної сукупності від їх середнього значення. Вибірковою дисперсією DB назива­ють середню квадратів відхилення варіант від вибіркової середньої з врахуванням відповідних частостей . Вибірковим середньоквадратичним відхиленням (стандартом) називають квадратний корінь із вибіркової дисперсії. Вибіркова дисперсія дає занижені зна­чення для дисперсії D (X) генеральної сукупності, вона буде зсунутою оцінкою D(Х). Тому вибіркову дисперсію доцільно виправити таким чи­ном, щоб вона стала незсунутою оцінкою.

вібіркова дисперсия Dв наз. Середню квадратів відхилення варіант від вибіркової середньої з врахуванням відповідних частостей. .Виправлене середньоквадратичне відхилення s=

3.9.Дати озн вибіркових: Моди, медіани , початкового моменту, центрального моменту, асиметрії, ексцесу.

мода- значения варіанти, яка має найбільшу частоту.

медіана значення змінюваної ознаки, яке ділить множину даних навпіл, так що одна половина значень більша від медіани, а друга – менша.

Початковий момент середнє знач. К-го степення різниці хі-с, при с=0 *k=

центральний момент середнє знач. К-го степення різниці хі-с, при с= М[(X-mk)k]= k

асиметрія: ,де m3-централ. емпіричний момент 3-го порядку.

Ексцес: ек=m4/ , m4- централ. емпіричний момент 4-го порядку.

3.10.Дати означення: а)інтегральної оцінки параметра генеральної сукупності, її точності та надійності б)надійного інтервалу

А) Інтервальною називають оцінку, яка визнаається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок .

Нехай знайдена по даним вибірки статистична характеристика Q* слугує оцінкою невідомого параметра Q. Будемо вважати Q постійним числом. Зрозуміло, що Q* тим точніше визначає параметр Q, чим менша абсолютна величина різниці |Q – Q*|. Іншими словами, якщо δ > 0 і |Q – Q*| < δ, то чим менше δ, тим оцінка точніша. Таким чином, «+» число δ характеризує точність оцінки.

Проте не можна категорично стверджувати, що оцінка Q* задовольняє нерівність |Q – Q*| < δ; можна лише говорити про ймовірність γ, з якою ця нерівність здійснюється.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки Q по Q* називають імовірність γ, з якою здійснюється нерівність |Q – Q*| < δ. Звичайно надійність оцінки задається наперед, при чому в якості γ беруть число, що близьке до 1 (0,95; 0,99).

Б) Надійним називають інтервал (Q* - δ; Q* + δ), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю γ.

Приклад:

Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного очікування а нормально розподіленої ознаки Х ген. сукупності, якщо ген. сер. Квадратичне відхилення σ = 5, вибіркова середня = 14 і обсяг вибірки n = 25.

точковими оцінками параметрів розподілу генеральної сукупності наз. Такі оцінки, які визначаються одним числом.

Інтервальна оцінка та , що визначається 2 числами – кінцями інтервалу.

Надійністю оцінки параметрів 0 за 0* наз. імовірність з якою викон. нерівність

Інтервал (0* - )= наз. надійним, якщо він покриває невідомий параметр 0 із заданою надійністю .

Точність оцінки визнач. .

3.11.Записати формули для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки математичного сподівання нормальнорозподіленої сукупності з:а) відомим;б) невідомим значенням генерального середнього квадратичного відхилення.

, тобто з надійністю довірчий інтервал ( ) покриває невідомий параметр а. точність оцінки буде

Число t визначається рівністю 2Ф(t)= Ф(t)= .

При зростанні об’єму вибірки число зменш., а це знач., що точність оцінки збільш. Коли надійність збільш. , ф-ція Ф(t) зростає. Збільшення надійності зменш. її точність.