- •Задача 4 а. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка
- •5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.
- •Типовая задача (вариант № 30).
- •4. Создадим матрицу моделирования на базе рсп для , проведём вспомогательные расчёты для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (таблица 4) (см. Раздел а, п. 5).
- •5.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчёта внести в таблицу 4).
- •Б. Уравнение регрессии второго порядка
- •; Откуда
- •Типовая задача
Задача 4 а. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка
1. Линейная модель: однофакторное уравнение регрессии первого порядка:
.
Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов. Все значения фиктивного нормированного фактора X0 равны .
2. Пусть натуральные значения фактора . Взаимосвязь нормированных значений фактора Х1 с натуральными значениями фактора х1 задаётся следующими формулами:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
где ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х1, соответственно: , то .
3. Матрица планирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в натуральном значении фактора . Таблица состоит для N опытов с числом дублей n в каждом опыте и включает в себя столбцы: N, , , , , значения которых позволяют выполнить эксперимент по выбранному плану и провести предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних, выборочных дисперсий в каждом опыте и дисперсии воспроизводимости, проверка всех выборочных дисперсий на однородность).
Для построения однофакторного уравнения первого порядка воспользуемся равномерным симметричным планом (РСП). Матрица планирования на базе РСП состоит из N опытов, в которой фактор х1 в натуральных значениях варьируется на равноотстоящих друг от друга уровнях:
, . (5)
4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования, где N ‑ число опытов ( ); n – число в каждом опыте дублей ( ).
4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:
, . (6)
4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:
, . (7)
4.3. Проверка выборочных дисперсий всех N опытов на однородность по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .
; (8)
‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;
‑ критерий однородности выборочных дисперсий:
‑ выборочные дисперсии ( ) с доверительной вероятностью р однородны, то есть , если
, (9)
‑ выборочные дисперсии ( ) с доверительной вероятностью р неоднородны, то есть равенство не выполняется, если
. (10)
Если выборочные дисперсии неоднородны, то дальнейшее моделирование изучаемого объекта предложенным математическим аппаратом некорректно. Необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.
4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы равны:
, (11)
. (12)
5. Матрица моделирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в нормированных значениях факторов . Таблица состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).
Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Нормированные значения фактора рассчитываются по формуле (1), либо для РСП с учётом уравнений (1) – (5) по формуле:
, . (13)
5.1. Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (при условии, что факторы Х0 и Х1 ортогональны) рассчитывают по формулам:
; (14)
. (15)
5.2. Проверка коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость (при условии, что факторы Х0 и Х1 ортогональны).
Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного уравнении регрессии первого порядка для РСП:
; (16)
. (17)
Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:
, (18)
, (19)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.
Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:
, (20)
. (21)
Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим и его необходимо исключить из полученного уравнения регрессии.