2. Методические указания по определению координат пункта обратной угловой засечкой Порядок решения с использованием формулы Деламбра

Решение задачи выполнять независимо дважды, это необходимо для контроля правильности определения координат пункта Р (рис. 1).

В первом решении используют координаты пунктов Т_1, Т₂, Т₃ и измеренные углы β₁ и β₂ .

Во втором решении используют координаты пунктов Т_1, Т₂, Т₄ и измеренные углы β₁ и β₃ (1-ый вариант 2-го решения), либо координаты пунктов Т_1, Т₃, Т₄ и измеренные углы β₂, β₃ (2-ый вариант 2-го решения).

Вычисления удобно производить в ниже приведенных таблицах 1, 2, 3.

Первое решение

1. Вычисляют дирекционный угол начального направления (с твердого пункта Т1 на определяемый Р) по формуле Деламбра:

где Х_1, У₁ ; Х₂, У₂ ; Х₃, У₃ - координаты соответственно пунктов Т_1, Т₂, Т₃;

β₁ , β₂ – углы, измеренные от начального направления соответственно до второго и третьего направлений.

Значение дирекционного угла определяют по знаку tg α_Т1-Р.

2. Выполняют контроль вычислений.

(Х₃ – Х₂) + (Х₂ – Х₁) + (Х₁- Х₃) = 0

(У₃ – У₂) + (У₂ – У₁) + (У₁- У₃) = 0

3. Вычисляют дирекционные углы 2-го и 3-го направлений (α_Р-Т2, α_Р-Т3) от пункта Р на твердые по ниже приведенным формулам, для этого сначала переходят от дирекционного угла α_Т1-Р к его обратному значению.

α_Р-Т1 = α_Т1-Р ± 180^о ;

α_Р-Т2 = α_Р-Т1 + β₁ ;

α_Р-Т3 = α_Р-Т1 + β₂,

где α_Т1-Р - дирекционный угол начального направления;

β₁, β₂ - измеренные углы от начального направления.

4. Вычисляют дважды координаты пункта Р по формулам Гаусса. По ним определяют координаты искомого пункта прямой угловой засечкой. В этих расчетных формулах используют дирекционные углы направлений с твердых пунктов на искомую точку, поэтому необходимо от ранее вычисленных направлений от искомого пункта на твердые пункты перейти к направлениям от твердых пунктов на определяемый пункт.

α_Т1-Р = α_Р-Т1 ± 180^о;

α_Т2-Р = α_Р-Т2 ± 180^о;

α_Т3-Р = α_Р-Т3 ± 180^о.

У_Р = У₃ + (Х_Р – Х₃)×tg α_Т3-Р ;

У_Р = У₁+ (Х_Р - Х₁)×tg α_Т1-Р .

5. Для контроля правильности вычислений определяют дирекционный угол второго направления, используя для этого координаты исходного пункта Т₂ и вычисленные координаты пункта Р:

Расхождение между вычисленными дирекционными углами разными способами не должно превышать 1''.

Второе решение (1-ый вариант)

Используют координаты исходных пунктов Т_1, Т₂, Т₄, измеренные углы β₁ и β₃.

Вычисляют дирекционный угол начального направления от твердого пункта на искомый пункт по формуле Деламбра:

,

где Х₁, У₁; Х₂, У₂; Х₄, У₄ – соответственно координаты пунктов Т₁, Т₂, Т₄;

β₁, β₃ – углы, измеренные от начального направления соответственно до второго и четвертого направлений.

Значение дирекционного угла определяют по знаку tgα_Т1-Р.

2. Выполняют контроль вычислений.

(Х₄– Х₂) + (Х₂ – Х₁) + (Х₁- Х₄) = 0

(У₄– У₂) + (У₂ – У₁) + (У₁- У₄) = 0

3. Вычисляют дирекционные углы 2-го и 4-го направлений от определяемого пункта на твердые пункты по формулам:

α_Р-Т1 =α_Т1-Р ± 180^о;

α_Р-Т2 =α_Р-Т1 + β₁;

α_Р-Т4 = α_Р-Т1 + β₃,

где α_Т1-Р - дирекционный угол начального направления;

β₁, β₃ - измеренные углы от начального направления.

4. Определяют дважды координаты пункта Р

У_Р = У₄ + (Х_Р – Х₄)×tg α_{Т4 –Р};

У_Р = У₁ + (Х_Р - Х₁)×tg α_Т1-Р.

5. Для контроля правильности вычислений снова определить дирекционный угол второго направления

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 1

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т2, Т3;

Измеренные углы β₁, β₂

Таблица1

У1		Х1		(Х1–Х3)×tg αТ1-Р		(Х1–Х3)×tg αТ3-Р
У2		Х2		(У1 –У3)		(У1 –У3)
У3		Х3
У2 – У1		Х2 – Х1		А		В
У3 – У2		Х3 – Х2		ХP – Х3		ХP – Х1
У1 – У3		Х1 – Х3		Х3		Х1
контроль				ХP		ХP
β1		β2		(ХP–Х3)×tg αТ3-Р		(ХP–Х1)×tg αТ1-Р
сtg β1		сtg β2		У3		У1
(У2-У1)×сtg β1		(Х2–Х1)×сtg β1		УР		УР
(У1–У3)×сtg β2		(Х1–Х3)×сtg β2		Контроль
(Х3 – Х2)		(У3–У2)		У2 – УР		Окончательные значения
				Х2 – ХP
tg αT1-P		αР-Т1		tg αР-Т2		αР-Т1
tg αT3-P		αР-Т2		αР-Т2		αР-Т2
К		αР-Т3				αР-Т3

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 2 (1-ый вариант)

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т2, Т4;

Измеренные углы β₁, β₃

Таблица 2

У1		Х1		(Х1–Х4)×tg αТ1-Р		(Х1–Х4)×tg αТ4 -Р
У2		Х2		(У1 –У4)		(У1 –У4)
У4		Х4
У2 - У1		Х2 – Х1		А		В
У4 – У2		Х4 – Х2		ХP – Х4		ХP – Х1
У1 – У4		Х1 – Х4		Х4		Х1
контроль				ХP		ХP
β1		β3		(ХP–Х4)×tg αТ4-Р		(ХP–Х1)×tg αТ1-Р
сtg β1		сtg β3		У4		У1
(У2 - У1)×сtg β1		(Х2–Х1)×сtg β1		УР		УР
(У1 - У4)×сtg β3		(Х1–Х4)×сtg β3		Контроль
(Х4 – Х2)		(У4–У2)		У2 - УР		Окончательные значения
				Х2 – ХP
tg αT1-P		αР-Т1		tg αР-Т2		αР-Т1
tg αT4-P		αР-Т2		αР-Т2		αР-Т2
К		αР-Т4				αР-Т4

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 2 (2-ой вариант)

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т3, Т4;

Измеренные углы β₂, β₃

Таблица 3

У1		Х1		(Х1–Х4)×tg αТ1-Р		(Х1–Х4)×tg αТ4-Р
У3		Х3		(У1 –У4)		(У1 –У4)
У4		Х4
У3 - У1		Х3 – Х1		А		В
У4 – У3		Х4 – Х3		ХP – Х4		ХP – Х1
У1 – У4		Х1 – Х4		Х4		Х1
контроль				ХP		ХP
β 2		β 3		(ХP–Х4)×tg αТ4-Р		(ХP–Х1)×tg αТ1-Р
сtg β2		сtg β3		У4		У1
(У3-У1)×сtg β2		(Х3–Х1)×сtg β2		УР		УР
(У1–У4)×сtg β3		(Х1–Х4)×сtg β3		Контроль
(Х4 – Х3)		(У4–У3)		У3 - УР		Окончательные значения
				Х3– ХP
tg αT1-P		αР-Т1		tg αР-Т3		αР-Т1
tg αT4-P		αР-Т3		αР-Т3		αР-Т3
К		αР-Т4				αР-Т4

Второе решение (2-ой вариант)

1. Вычисляют дирекционный угол начального направления (с твердого пункта Т₁ на определяемый Р) по формуле Деламбра:

где Х_1, У₁; Х₃, У₃; Х₄, У₄ - координаты соответственно пунктов Т_1, Т₃, Т₄;

β₂, β₃ – углы, измеренные от начального направления соответственно до третьего и четвертого направлений.

Значение дирекционного угла определяют по знаку tg α_Т1-Р.

2. Выполняют контроль вычислений.

(Х₃ – Х₁) + (Х₄ – Х₃) + (Х₁- Х₄) = 0

(У₃ – У₁) + (У₄ – У₃) + (У₁- У₄) = 0

3. Вычисляют дирекционные углы 3-го и 4-го направлений (α_Р-Т3, α_Р-Т4) от пункта Р на твердые по ниже приведенным формулам, для этого сначала переходят от дирекционного угла α_Т1-Р к его обратному значению.

α_Р-Т1 = α_Т1-Р ± 180^о;

α_Р-Т3 = α_Р-Т1 + β₂ ;

α_Р-Т4 = α_Р-Т1 + β₃,

где α_Т1-Р - дирекционный угол начального направления;

β₂, β₃ - измеренные углы от начального направления.

4. Вычисляют дважды координаты пункта Р по формулам Гаусса. По ним определяют координаты искомого пункта прямой угловой засечкой. В этих расчетных формулах используют дирекционные углы направлений с твердых пунктов на искомую точку, поэтому необходимо от ранее вычисленных направлений от искомого пункта на твердые пункты перейти к направлениям от твердых пунктов на определяемый пункт.

α_Т1-Р = α_Р-Т1 ± 180^о;

α_Т3-Р = α_Р-Т3 ± 180^о;

α_Т4-Р = α_Р-Т4 ± 180^о.

У_Р = У₄ + (Х_Р – Х₄)×tg α_Т4-Р ;

У_Р = У₁+ (Х_Р - Х₁)×tg α_Т1-Р .

5. Для контроля правильности вычислений определяют дирекционный угол третьего направления, используя для этого координаты исходного пункта Т₃ и вычисленные координаты пункта Р:

.

Расхождение между вычисленными дирекционными углами разными способами не должно превышать 1''.

Примеры расчета координат пункта по формуле Деламбра приведены в таблицах 4, 5 и 6 соответственно – 1^-ое, 2^-ое (1-ый вариант) и 2^-ое (2-ой вариант) решения.

На рис. 3 даны ориентированные схемы засечек для 31варианта, который дан в качестве примера определения координат пункта Р.

Рис. 3. Ориентированная схема засечки

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 1

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т2, Т3;

Измеренные углы β₁, β₂

Таблица 4

У1	675,000	Х1	800,000	(Х1–Х3)×tg αТ1-Р	-371,249	(Х1–Х3)×tg αТ3-Р	-799,605
У2	1100,000	Х2	875,000	(У1 –У3)	-540,000	(У1 –У3)	-540,000
У3	1215,000	Х3	635,000
У2 – У1	+425,000	Х2 – Х1	+75,000	А	+168,751	В	-259,605
У3 – У1	+115,000	Х3 – Х2	-240,000	ХP – Х3	65,002	ХP – Х1	-99,998
У1 – У3	-540,000	Х1 – Х3	+165,000	Х3	635,000	Х1	800,000
контроль	0,000		0,000	ХP	700,002	ХP	700,002
β1	114о51′10″	β2	167о41′49″	(ХP–Х3)×tg αТ3-Р	-315,005	(ХP–Х1)×tg αТ1-Р	224,995
сtg β1	0,463183	сtg β2	-4,585239	У3	1215,000	У1	675,000
(У2 - У1)×сtg β1	-196,853	(Х2–Х1)×сtg β1	-34,739	УР	899,994	УР	899,995
(У1–У3)×сtg β2	+2476,029	(Х1–Х3)×сtg β2	-756,564	Контроль
(Х3 – Х2)	-240,000	(У3–У2)	+115,000	У2 - УР	200,006	Окончательные значения
	+2039,176	rР-Т1 =66о02′15″	-906,303	Х2 – ХP	174,998
tg αT1-P	-2,249994	αР-Т1	293о57′45″	tg αР-Т2	1,142904	αР-Т1	293о57′45″
tg αT3-P	-4,846089	αР-Т2	48о48′55″	αР- Т2	48о48′55″	αР-Т2	48о48′55″
К	+2,596095	αР-Т3	101о39′34″			αР-Т3	101о39′34″

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 2 (1-ый вариант)

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т2, Т4;

Измеренные углы β₁, β₃

Таблица 5

У1	675,000	Х1	800,000	(Х1–Х4)×tg αТ1-Р	-618,752		(Х1–Х4)×tg αТ4-Р		-39,285
У2	1100,000	Х2	875,000	(У1 –У4)	-250,000		(У1 –У4)		-250,000
У4	925,000	Х4	525,000
У2 - У1	+425,000	Х2 – Х1	+75,000	А	-368,752		В		210,714
У4 – У2	-175,000	Х4 – Х2	-350,000	ХP – Х4	175,000		ХP – Х1		-100,000
У1 – У4	-250,000	Х1 – Х4	+275,000	Х4	525,000		Х1		800,000
контроль	0,000		0,000	ХP	700,000		ХP		700,000
β1	114о51′10″	β3	237о54′30″	(ХP–Х4)×tg αТ4-Р	-25,000		(ХP–Х1)×tg αТ1-Р		225,001
сtg β1	0,463183	сtg β3	0,627096	У4	925,000		У1		675,000
(У2-У1)×сtg β1	-196,853	(Х2–Х1)×сtg β1	-34,739	УР	900,000		УР		900,000
(У1–У4)×сtg β3	-156,774	(Х1–Х4)×сtg β3	+172,451	Контроль
(Х4 – Х2)	-350,000	(У4–У2)	-175,000	У2 - УР	200,000	Окончательные значения
	-703,627		+312,712	Х2 – ХP	175,000
tg αT1-P	-2,250008	αР-Т1	293о57′42″	tg αР-Т2	1,142857	αР-Т1		293о57′42″
tg αT4-P	-0,142855	αР-Т2	48о48′52″	αР-Т2	48о48′51″	αР-Т2		48о48′52″
К	-2,107153	αР-Т4	171о52′12″			αР-Т4		171о52′12″

Определение координат пункта Р из решения обратной засечки

(с использованием формулы Деламбра)

Решение 2 (2-ой вариант)

Исходные данные:

Координаты пунктов Т1, Т3, Т4;

Измеренные углы β₂, β₃

Таблица 6

У1	675,000		Х1	800,000	(Х1–Х4)×tg αТ1-Р	-618,754	(Х1–Х4)×tg αТ4-Р	-39,282
У3	1215,000		Х3	635,000	(У1 –У4)	-250,000	(У1 –У4)	-250,000
У4	925,000		Х4	525,000
У3 - У1	540,000		Х3 – Х1	-165,000	А	-368,754	В	+210,718
У4 – У3	-290,000		Х4 – Х3	-110,000	ХP – Х4	+175,000	ХP – Х1	-100,000
У1 – У4	-250.000		Х1 – Х4	+275,000	Х4	525,000	Х1	800,000
контроль	0,000			0,000	ХP	700,000	ХP	700,000
β 2	167о41′49″		β 3	237о54′30″	(ХP–Х4)×tg αТ4Р	-24,998	(ХP–Х1)×tg αТ1-Р	+225,002
сtg β2	-4,585239		сtg β3	0,627096	У4	925,000	У1	675,000
(У3-У1)×сtg β2	-2476,029		(Х3–Х1)×сtg β2	+756,564	УР	900,002	УР	900,002
(У1–У4)×сtg β3	-156,774		(Х1–Х4)×сtg β3	+172,451	Контроль
(Х4 – Х3)	-110,000		(У4–У3)	-290,000	У3 - УР	+314,998	Окончательные значения
	-2742,803			+1219,015	Х3– ХP	-65,000
tg αT1-P	-2,250016		αР-Т1	293о57′44″	tg αР-Т3	-4,846123	αР-Т1	293о57′44″
tg αT4-P	-0,142845	αР-Т3		101о39′33″	αР-Т3	101о39′34″	αР-Т3	101о39′33″
К	-2,107171	αР-Т4		171о52′14″			αР-Т4	171о52′14″