- •2. Теореми додавання та множення ймовірностей.
- •3. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
- •4. Послідовності випробувань. Повторюванні експерименти. Схема Бернуллі. Локальна і інтегральна теореми Муавра-Лапласа. Поліноміальна схема.
- •5. Випадкові величини (вв). Дискретні та неперервні вв.
- •6. Функція розподілу ймовірностей. Непереривні випадкові величини.
- •7. Числові характеристики вв. Математичне сподівання та дисперсія.
- •8. Нормальний, рівномірний та показниковий (експоненціальний) закони
- •9. Генеральна сукупність, вибірка, основні способи організації вибірки. Емпірична функція розподілу. Полігони і гістограми.
- •10. Статистичне оцінювання параметрів. Ґрунтовна, незміщена, ефективна
- •11. Критерії узгодження: Пірсона та Колмогорова. Методи моментів,
- •12. Перевірка статистичних гіпотез.
- •13. Кореляційний аналіз даних.
- •14. Регрессионный анализ данных.
- •15. Часові ряди.
5. Випадкові величини (вв). Дискретні та неперервні вв.
Случайная величина(СВ) – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно.
Закон распределения СВ – всякое соотношение, устанавливающее связь между всевозможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.
Дискретная СВ – случайная величина, множество значений которой конечно или счетное и принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Задается рядом распределения, многоугольником распределения, функцией распределения.
Ряд распределения – таблица, в которой перечислены возможные значения СВ Х и соответствующие им вероятности. Р = Р(Х=х ),
Многоугольник распределения – Графическое изображение ряда распределения.
Непрерывная СВ – случайная величина, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка; непрерывно занимает некоторый промежуток.
Задается функцией распределения и функцией плотности.
Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:
М(Х) =
причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.
Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:
Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).
Распишем функцию от случайной величины.
Пусть НСВ Х и Y связаны функциональной зависимостью Y = (х), где (х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, если f (x) – плотность СВ Х, а g(y) – плотность СВ Y, то g(y) = f((y))| ’(y)|,
где (y) – функция, обратная по отношению к (х).
Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция (y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х: 1(y), 2(y),…, n(y), то плотность СВ Y определяется формулой:
Распишем функцию от 2-х случайных величин.
Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Z есть функция от двух случайных аргументов Х и Y: Z = (X, Y), то ее функция распределения имеет вид:
где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X, Y), а двойной интеграл берется по области D(Z) плоскости хОу, для которой (x,y) < z.
6. Функція розподілу ймовірностей. Непереривні випадкові величини.
Щільність ймовірностей.
Функцией распределения (вероятностей) СВ Х называют функцию F(x): F(x) = Р(Х<х). Функция распределения в точке х равна вероятности того, что СВ Х принимает значение меньше х.
Свойства F(x)
1. Функция распределения СВ Х есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: 0 F(x) 1.
2. На минус бесконечности функция распределения = 0: F(- ) = lim F(x)=0.
3. На плюс бесконечности функция распределения =1: F(+ )=1
4. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента: F(x1) F(x2) при х1 х2.
Непрерывная СВ – случайная величина, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка; непрерывно занимает некоторый промежуток.
Задается функцией распределения и функцией плотности.
Плотностью распределения (плотностью вероятности или просто плотностью) непрерывной СВ называется производная ее функции распределения: (x)=f(x) или F(x) =
1. Плотность вероятности –неотрицательная функция: f(x) 0
2. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности НСВ равен 1:
3. Площадь под кривой распределения f(x) равна 1.
Для любой СВ: Р(а<X<b)= F(b)-F(a).
Для НСВ: P(a<X<b)= .
Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:
М(Х) =
причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.
Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:
Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).