64.Властивості визначеного інтегралу. Обчислення визначеного інтегралу. Формула Ньютона - Лейбніца .

Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при l_і­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dх_і, ні від вибору точок x_і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b]

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

3) Якщо f₁(x) та f₂(x) інтегровні на [a;b], то:

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

6) Якщо f(x)³0 і інтегровна для xÎ[a,b], b>a, то

(Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.

67.Поняття про диф. Р-ння та його розв язки Диф. Рівняння першого порядку. Загальний розвязок і загальний інтеграл рівняння першого порядку. Задача Коші .Частковий розвязок диф. Рівняння.

Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння.Найб. порядок пох. наз. порядком диф. р-ня.

Звич. ДР наз. нетотож. співвіднош. між шуканою ф-цією однієї змінної самою не залеж. змінною та пох. шук. ф-ції певних порядків.

Розв’язком ДР y’=f(x;y) наз. ф-ція у=j(х), яка при підстановці у ДР перетвор. його у тотож.

Розвязок, що містить довільні пост. наз загальним роз. ДР.

Розв., який одерж. із заг. При деяких дов. знач. дов. постійних наз. част. розв.

Розгл. ДР y’=f(x;y).

Задача пошуку розв. у=j(х), що задов. умови у=у₀ при х=х₀ наз. задачею Коші. Умови наз. початковими, а у₀, х₀ – поч. знач.

Нехай ф-ція f(x;y) непер. на обл. D

тоді при ( х₀, у₀)ÎD існує єд. розв. у=j(х) ДР, який задов. поч.. умови

у₀=j(х₀).

69.Однорідні відносно змінних диф рівняння першого порядку.

Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u Þy=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)¹0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)º0, то неоднорідним

72.Лінійні диф рівняння другого порядку.

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=j(x,C₁,C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.

Однорідні.

Означення: Рівняння вигляду y’’+a₁y’+a₂y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р.

Розв’язок:

y’’+a₁y’+a₂y=0

Складаємо характеристичне рівняння:

K²+a₁K+a₂=0

А) D>0

Б) D=0, K1,2= –b/2