5. Проверка условия гомоскедастичности случайной составляющей (возмущения).

Для обнаружения гетероскедастичности используется метод Гольдфельда – Квандта, который включает в себя следующие шаги:

• упорядочить n наблюдений по мере возрастания переменной Х;

• исключить d средних наблюдений, где , d=10;

• разделить совокупность на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определить по каждой из групп уравнения регрессии;

• определить остаточную сумму квадратов для первой регрессии:

и второй регрессии групп:

• нахождение расчетного критерия Фишера:

Если F_расч >F_табл (α; k₁; k₂) - гетероскедастичность имеет место, свойство не выполняется.

В таблице 12. Приведены упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора х₃, d средних наблюдений выделены жирным шрифтом.

_{Таблица 12. Упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора х3}

t	х3	y	t	х3	y
1	29	38	21	71,3	80
2	32	67	22	72,9	125
3	32	39	23	75	105
4	32,8	45	24	75	90
5	32,8	40	25	80	98
6	34	40	26	80	105
7	35	41	27	81	132
8	36	42	28	81	123
9	41,9	38	29	81,1	82
10	47	67	30	85	85
11	57	100	31	89,9	92,5
12	57,2	93	32	90	170
13	58,1	61,1	33	97	86,9
14	58,1	70,3	34	104	128
15	60	85	35	107	118
16	60	60	36	108	130,5
17	67	125	37	108,4	200
18	69	62,2	38	147	227
19	69,5	83	39	150	235
20	70	160	40	155	280

В таблицах 13,14,15,16 приведен вывод итогов по первым 15 значениям (n₁=15).

Таблица 13. Регрессионная статистика

Множественный R	0,814
R-квадрат	0,663
Нормированный R-квадрат	0,637
Стандартная ошибка	13,039
Наблюдения	15

Таблица 14. Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	4352,695	4352,695	25,600	0,0002
Остаток	13	2210,341	170,026
Итого	14	6563,036

Таблица 15.

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	-5,474	12,943	-0,423	0,679	-33,437	22,488
X3	1,475	0,292	5,060	0,000	0,845	2,105

Таблица 16. Вывод остатка

Наблюдение	Yi	Предсказанное Y	Остатки ei=yi-ŷi
1	38	37,311	0,689	0,474
2	67	41,737	25,263	638,196
3	39	41,737	-2,737	7,494
4	45	42,918	2,082	4,336
5	40	42,918	-2,918	8,513
6	40	44,688	-4,688	21,979
7	41	46,164	-5,164	26,663
8	42	47,639	-5,639	31,798
9	38	56,344	-18,344	336,489
10	67	63,868	3,132	9,809
11	100	78,622	21,378	457,029
12	93	78,917	14,083	198,336
13	61,1	80,245	-19,145	366,518
14	70,3	80,245	-9,945	98,896
15	85	83,048	1,952	3,811
			0,000		Ʃ=2210,341

Уравнение регрессии для первых 15 значений имеет вид:

= -5,474+1,475х₃

В таблицах 17,18,19,20 приведен вывод итогов по последним 15 значениям (n₂=15).

Таблица 17. Регрессионная статистика

Множественный R	0,872
R-квадрат	0,760
Нормированный R-квадрат	0,741
Стандартная ошибка	31,536
Наблюдения	15

Таблица 18. Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	40925,992	40925,992	41,152	2,29E-05
Остаток	13	12928,718	994,517
Итого	14	53854,709

Таблица 19.

Переменная	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	-69,323	34,589	-2,004	0,066	-144,047	5,402
X 3	2,068	0,322	6,415	0,000	1,371	2,764

Таблица 20. Вывод остатков

Наблюдение	Yi	Предсказанное Y	Остатки ei=yi-ŷi
1	38	96,095	8,905	79,302
2	67	98,163	33,837	1144,971
3	39	98,163	24,837	616,897
4	45	98,369	-16,369	267,956
5	40	106,433	-21,433	459,393
6	40	116,565	-24,065	579,138
7	41	116,772	53,228	2833,214
8	42	131,246	-44,346	1966,576
9	38	145,720	-17,720	314,003
10	67	151,923	-33,923	1150,790
11	100	153,991	-23,491	551,828
12	93	154,818	45,182	2041,404
13	61,1	234,632	-7,632	58,249
14	70,3	240,835	-5,835	34,050
15	85	251,174	28,826	830,947
			0,000		Ʃ=12928,718

Уравнение регрессии для последних 15 значений имеет вид:

= -69,323+2,068х₃

Расчетный критерий Фишера:

т.к. , то F_расч.= =

Табличное значение критерия Фишера:

F_табл(α; k₁; k₂), где k₁=n₁-m=15-2=13, m- количество параметров (m=2);

k₂ =n-n₁-m=40-15-2=23.

F_табл(0,05; 13; 23)=2,175

Т.к. F_расч > F_табл, имеет место гетероскедастичность, поэтому последнее свойство не выполняется → модель нужно уточнять.

Для оценки влияния факторов на результат используют коэффициент эластичности (Э) и β-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:

• 

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.

=1,147% , т.е. цена квартиры увеличится на 1,147%, если фактор х₃ (общая площадь квартиры) увеличится на 1%.

Данные для а₃=1,592 - берем из табл.5; для =72,925 – из табл.7;

для =101,238 – из табл.11.

• , где

- среднеквадратическое отклонение фактора х_j и y.

β-коэффициент показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения (СКО) изменяется в среднем значение зависимой переменной (y), если один из факторов (х_j) увеличить на величину СКО.

Для расчета β-коэффициента (для фактора х₃) необходимо рассчитать первоначально среднеквадратическое отклонение переменных x и y, значения для которых приведены в таблице 21.

Таблица 20. Значения для расчета среднеквадратического отклонения х и y

№			yt		№			yt
1	41,9	962,551	38	3998,981	21	60	167,056	60	1700,531
2	69	15,406	62,2	1523,926	22	35	1438,306	41	3628,556
3	67	35,106	125	564,656	23	75	4,306	90	126,281
4	58,1	219,781	61,1	1611,019	24	69,5	11,731	83	332,606
5	32	1674,856	67	1172,206	25	32,8	1610,016	45	3162,656
6	57,2	247,276	93	67,856	26	32	1674,856	39	3873,506
7	107	1161,106	118	280,981	27	97	579,606	86,9	205,564
8	81	65,206	132	946,331	28	32,8	1610,016	40	3750,031
9	89,9	288,151	92,5	76,344	29	71,3	2,641	80	451,031
10	75	4,306	105	14,156	30	147	5487,106	227	15816,206
11	36	1363,456	42	3509,081	31	150	5940,556	235	17892,406
12	72,9	0,001	125	564,656	32	34	1515,156	40	3750,031
13	90	291,556	170	4728,281	33	47	672,106	67	1172,206
14	29	1929,406	38	3998,981	34	81	65,206	123	473,606
15	108	1230,256	130,5	856,294	35	57	253,606	100	1,531
16	60	167,056	85	263,656	36	80	50,056	105	14,156
17	80	50,056	98	10,481	37	58,1	219,781	70,3	957,129
18	104	965,656	128	716,231	38	81,1	66,831	82	370,081
19	85	145,806	85	263,656	39	155	6736,306	280	31956,031
20	70	8,556	160	3453,031	40	108,4	1258,476	200	9754,031
							Ʃ=40189,255		Ʃ=128008,994							9754,031

Т.е. при увеличении общей площади квартиры на 0,892 кв.м цена на квартиру увеличится на 51,104 тыс.долл. (0,892*57,291).

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов показывает

Δ – коэффициент: , где — коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной (табл.2), R² – коэффициент детерминации (табл.3).

=(0,892*0,892)/0,792=1

Вывод: на 100% изменение результата Y (цена квартиры) происходит под влиянием фактора х₃ (общая площадь квартиры), включенного в модель.

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже:

Номер варианта	Номер наблюдения (t=1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28

Требуется:

1. проверить наличие аномальных наблюдений;

2. построить линейную модель (t)= , параметры которых оценить МНК ( (t)- расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3. оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);

4. оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5. по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%);

6. фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части.

РЕШЕНИЕ:

1.Выявление аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Используя метод Ирвина вычислим величину λ_t по формуле:

Результаты расчетов по методу Ирвина приведены в табл. 1

Таблица 1. Выявление аномальных наблюдений

	A		B		C	D
1	t		Y(t)		(yt-ȳ)2	λ(t)
2	1		12		57,1
3	2		15		20,8	0,6
4	3		16		12,6	0,2
5	4		19		0,3	0,6
6	5		17		6,5	0,4
7	6		20		0,2	0,6
8	7		24		19,8	0,8
9	8		25		29,6	0,2
10	9		28		71,3	0,6
Ʃ = 176		Ʃ= 218,2

В нашем примере

Полученные расчеты подставим в формулу и найдем λ_t. Рассчитанная величина λ_t не превышает табличное значение, поэтому подозрение в аномальности наблюдений отсутствует.

2. Построение линейной модели Y(t)=а₀+а₁t:

1) Оценку параметров линейной модели регрессии Y от t проведем с помощью надстройки Excel Анализ данных. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

• в диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Регрессия;

• в диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную (Y(t)=12,15,16,19,17,20,24,25,28); в поле Входной интервал X – значения независимой переменной t =1,2,3,…9.

• в полях График подбора и Остатки ставим флажок.

Результат регрессионного анализа представлен в табл.2 и 3.

Таблица 2. Результат регрессионного анализа

Переменная		Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика
Y-пересечение	а0	10,3		1,0		10,5
t	а1	1,85		0,2		10,6

Во втором столбец таблицы 2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁.

Кривая роста зависимости спроса от времени имеет вид: Y(t)=а₀+а₁t=10,3+1,85t

Таблица 3. Вывод остатка

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	12,2	-0,2
2	14,0	1,0
3	15,9	0,1
4	17,7	1,3
5	19,6	-2,6
6	21,4	-1,4
7	23,3	0,7
8	25,1	-0,1
9	27	1,0

2) Оценка параметров модели «вручную» в таблице 4 приведены расчеты параметров линейной модели по формулам:

â₀= ȳ - â₁t

Таблица 4.

t	yt	t-	(t- 2	yt-ȳ	(t- (yt-ȳ)	ŷt=â0+â1t	et=yt-ŷt
1	12	-4	16	-7, 6	30,2	12,2	-0,2
2	15	-3	9	-4, 6	13,7	14,0	1,0
3	16	-2	4	-3, 6	7,1	15,9	0,1
4	19	-1	1	-0, 6	0,6	17,7	1,3
5	17	0	0	-2, 6	0,0	19,6	-2, 6
6	20	1	1	0,4	0,4	21,4	-1,4
7	24	2	4	4,4	8,9	23,3	0,7
8	25	3	9	5,4	16,3	25,1	-0,1
9	28	4	16	8,4	33,8	27	1,0
срзнач=5	срзнач=19,6		Ʃ=60	срзнач=0	Ʃ=111		срзнач=0

В результате расчетов получаем те же результаты:

â₀= ȳ - â₁t= 19,6-1,85*5=10,3

.