- •1. Основные модели:
- •4) Теория наследственности (простые вероятностные модели, комбинаторика)
- •Определение вероятности (классическое, статистическое,геометрическое, аксиоматический подход).
- •Правила сложения и умножения вероятностей (совместные, несовместные, зависимые, независимые события).
- •Комбинаторика (перестановки, размещения, число сочетаний).
- •Формула полной вероятности, формула Байеса.
- •Повторные испытания, формула Бернулли.
- •Случайная величина (дискретная непрерывная)
- •Законы распределения: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.
- •Числовые параметры распределения ( матожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты).
- •Основные законы распределения случайных величин:
- •Статистика:
- •1)Генеральная совокупность, выборочная совокупность, размах, вариационный ряд, варианты, частота, относительная частота, полигон, гистограмма, плотность частоты,
- •1.2.Выборочная средняя.
- •4) Метод моментов
Законы распределения: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.
Заданное соответствие между возможными значениями ДСВХ и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины ; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Эта таблица называется рядом распределения
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора.
Свойства
непрерывна справа:[1]
не убывает на всей числовой прямой.
.
.
Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
Числовые параметры распределения ( матожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты).
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .
Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение
x1 x2 ... xn
p1 p2 ... pn
называется величина , если число значений случайной величины конечно.
Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
,
Основные свойства математического ожидания:
математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;
математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).
Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k.
Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,
a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx .
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:
m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.
Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.
Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
,
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:
дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;
дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).