4) Теория наследственности (простые вероятностные модели, комбинаторика)
Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:
Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.
Определение вероятности (классическое, статистическое,геометрическое, аксиоматический подход).
Вероятностью называется мера P, которая задаётся на множестве X, называемом вероятностным пространством. (классика)
Случайным событием или вероятностью называют систему аксиом, на которой построена элементарная теория вероятности. Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. (аксиоматический подход)
Статистическая вероятность - относительная частота, с которой событие появляется внутри класса событий. (статистическое)
Геометрическая вероятность события
A, являющегося подмножеством множества
Ω точек на прямой или плоскости — это
отношение площади фигуры A к площади
всего множества Ω:
Правила сложения и умножения вероятностей (совместные, несовместные, зависимые, независимые события).
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
.
Если случайные события
образуют полную группу несовместных
событий, то имеет место равенство
.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
.
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).
Доказательство:
Пусть в результате опыта возможны N
исходов, из них М благоприятствуют
появлению события А, их этихМ- К исходов
благоприятствуют событию В. Одновременному
появлению событий А и В благоприятствуют
L исходов из К.. По классической формуле
имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:
Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Доказательство:
Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).