13. Лемма о параллельном переносе силы.

Докажем лемму: Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F (рис. 4.1). Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F'=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F', F"), так как (F',F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M_B(F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

14. Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к данному центру.

Пусть на тело действует система произвольно направленных, лежащих в одной плоскости сил  .

Выберем в плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения и перенесем в эту точку все силы (рис. 29, а 

В результате получим новую систему сил:

с моментами присоединенных пар:

Систему сил перенесенную в точку О заменим одной силой   приложенной в той же точке О:

Сложение пар дает одну пару с моментом:

Вектор  , равный геометрической сумме всех сил называют главным вектором системы. Величину  , равную сумме всех моментов относительно центра О, называют главным моментом системы относительно центра О.

Итак: Всякая плоская система сил, действующая на твердое тело при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой  , равной главному вектору системы и приложенной в Центре приведения О, и одной парой с моментом  , равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Для задания плоской системы сил достаточно задать ее главный вектор   и главный момент   относительно некоторого центра О. Главный вектор   не зависит от положения центра приведения O (рис. 29, б).

Главный момент   зависит от положения центра приведения О и его всегда нужно указывать.

При приведении произвольно расположенных сил на плоскости к данному центру возникают стандартные случаи, называемые приведением системы к простейшему виду. Рассмотрим эти случаи, имея в виду, что   определено согласно (4.2.3), а   согласно (4.2.4):

Все силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются.

Все силы приводятся к одной паре сил.

Все силы приводятся к равнодействующей.

Заданная система сил так же приводится к равнодействующей.

В данной главе мы не приводим теорему Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы, считая, что параграф 7 главы 2 дает представление как о самой теореме, так и о ее доказательстве.

15. Момент силы относительно оси.

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3). 

Рисунок 1.3

Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

 M_z(F) = M_o(F_П) = ±hF_П,

где F_П  – вектор проекции силы F  на плоскость  П, перпендикулярную к оси  Oz, точка O  – точка пересечения оси Oz  с плоскостью  П.

Свойства момента силы относительно оси: