1.5. Размещения.

Пусть дано некоторое конечное множество А, состоящее из п различных элементов. Выберем некоторым образом из этих п элементов т различных элементов и будем составлять из этих m элементов различные упорядоченные множества.

Конечные упорядоченные подмножества, содержащие по т эле­ментов, выбранных из n элементов основного множества, называются размещениями из п элеметов по т элементов. Число всех возможных размещений из п элементов по т обозначается

Нетрудно убедиться, что = n,

т. е. один элемент из п можно выбрать п способами, а из одного эле­мента можно образовать единственное упорядоченное множество.

Последнее равенство можно записать с использованием символа фак­ториала

;

При т = 0 получаем = 1, т. е. из любого множества единственным способом можно извлечь пустое множество, которое, по определению, можно упорядочить единственным способом.

1.6. Сочетания.

Конечные неупорядоченные множества, содержа­щие m различных элементов, выбранных из п элементов заданного мно­жества, называются сочетаниями из п элементов по т. Число сочетаний

из п элементов по т элементов обозначается .

Число сочетаний из п элементов по т равно

Сочетания с повторениями.

Сочетаниями из т (различных) Элементов по п элементов с повторениями называют неупорядоченные совокупности, состоящие из п элементов, каждый из которых при­надлежит к одному из т типов.

Например, из трех различных элементов a₁, a₂, а₃ можно составить следующие сочетания по два с повторениями:

{ a₁; a₁}, {a₁; a₂}, { a₁; а₃}, { a₂; a₂}, { a₂; а₃} { а₃; а₃}.

Число различных сочетаний из m элементов по n с повторениями обозначается и вычисляется по формуле =

2. Теория вероятности.

2.1. Классическое определение вероятности.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных исходов m(А) к общему числу n несовместных равновозможных исходов

Р(А)= m(А)/ n

2.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

2. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей минус вероятность их произведения.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

4. Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле

Р(А*В)= Р(А)*Р(В/А)= Р(В)*Р(А/В).

2.3. Дискретные случайные величины.

Если каждому элементарному событию w из некоторого множества собы­тий Q можно поставить в соответствие определенную величину X=Х(w), то говорят, что задана случайная величина. Случайную величину X можно рас­сматривать как функцию события w с областью определения Q.

Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, ..., а принимаемые ими значения — соответствующими строчными буквами х, у.....

Если значения, которые может принимать данная случайная величина X, образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел x_1, x_2, x_3, ...,x_n,..., то и сама случайная величина X называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина X, заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, b) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа х_n отвечает определенная вероятность р_n каждому промежутку (a, b) из области значе­ний случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность Р (а < X < b) того, что значение, принятое случайной величиной, попадет в этот промежуток.

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между воз­можными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	p2	p3	…	pn

При этом суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины X. Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f (х). Вероят­ность Р (а < X < b) того, что значение, принятое случайной величиной X, попадет в промежуток (а, b), определяется равенством

Р (а < X < b)=

График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а,b) равна пло­щади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распре­деления, осью Ох и прямыми х = а,

х = b.

Функция плотности вероятности f(х) обладает следующими свойствами:

1.f(x) 0

2.

(если все значения случайной величины X заключены в промежутке (а, b), то последнее равенство можно записать в виде =1 '

Рассмотрим теперь функцию F(x) = P(X < х). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция F (х) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если f(x)—функция плотности распределения ве­роятности непрерывной случайной величины X, то

F(x)=

Иногда функцию f (х) называют дифференциальной функцией распределе­ния вероятности, а функцию F (х) — интегральной функцией распределения вероятности.

Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:

1°. F (х) — неубывающая функция.

2°. F(-∞) =0,

3°. F (+∞) = 1.

Понятие функции распределения является центральным в теории вероят­ностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения F (х) непрерывна.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих зна­чений.

Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распреде­ления:

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	p2	p3	…	pn

то математическое ожидание М (X) определяется по формуле

M(X)=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n, или M(X)=

Так как p₁+p₂+…+p_n=1, то

M(X)=

Таким образом, М (X) является взвешенной средней арифметической значений случайной величины x_1, x_2, ...,x_n, при весах p₁,p₂,…,p_n

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квад­рата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X—M(X)]²= M(X²)- (M(X))²

Среднее квадратическое отклонение σ =