- •Оглавление
- •Тема 0. Введение (группа 3.3б) 4
- •Тема 1. Парная регрессия (группа 3.5а) 23
- •Тема 2. Множественная регрессия (группа 3.5б) 51
- •Тема 3. Нелинейная регрессия (группа 3.3а) 70
- •Тема 4. Системы регрессионных уравнений (группа 3.3б) 91
- •Тема 5. Прогнозирование временных рядов (группа 3.7ммэ) 102 Тема 0. Введение (группа 3.3б)
- •0.1. Эконометрика как наука.
- •0.2. История возникновения эконометрики
- •0.3.Элементы теории вероятности.
- •0.3.1. Вероятностные характеристики случайных переменных
- •0.3.2.Законы распределения:
- •0.3.3 Условное математическое ожидание
- •0.4. Элементы математической статистики
- •0.4.1.Оценивание «хороших» свойств оценок
- •1) Состоятельность оценок
- •2) Несмещенность оценок
- •3) Эффективность оценок
- •0.4.2. Проверка гипотез и интервальное оценивание
- •Тема 1. Парная регрессия (группа 3.5а)
- •1.1 Определение линейной однофакторной регрессии.
- •1.1.1.Основные понятия регрессионного анализа
- •1.1.2. Линейная однофакторная регрессия
- •1.1.3. Матричная запись линейной регрессии
- •1.1.4 Оценки параметров регрессии
- •1.1.5 Смысл коэффициента регрессии
- •1.2 Проверка адекватности ру
- •1.2.1 Показатели качества подгонки
- •1.2.2.Проверка гипотез относительно параметров ру
- •1.3 Предпосылки мнк (ls)
- •1.3.1. Общие положения мнк
- •1.3.2. Выполнение первой предпосылки мнк (случайный характер остатков)
- •1.3.4. Выполнение третьей предпосылки мнк (гомоскедастичность остатков)
- •1.3.5 Выполнение 4-го условия мнк (отсутствие автокорреляции остатков)
- •1.3.6 Выполнение 5-го условия мнк (нормальность остатков)
- •1.4. Устранение нарушения предпосылок мнк для оценки парной регрессии
- •1.4.1. Автокорреляция остатков
- •1.4.2.Гетероскедастичность остатков и избавление от нее
- •1 Подход: преобразование исходных данных
- •2 Подход: применение другого метода оценивания коэф-ов регрессии.
- •3 Подход) включение дисперсии в модель
- •1.4.3. Метод максимального правдоподобия.
- •Тема 2. Множественная регрессия (группа 3.5б)
- •2.1 Множественная линейная регрессия
- •2.1.1. Основные понятия
- •2.1.2. Методы оценивания коэффициентов линейной многофакторной регрессии.
- •2.2.Проверка адекватности уравнений линейной множественной регрессии
- •2.2.1. Проверка качества подборки мнк.
- •3) Коэффициент эластичности
- •2.2.2.Проверка гипотез для млр
- •2.2.3. Допущение выполнения мнк или получение «хороших» оценок
- •2.3. Мультиколлинеарность факторов
- •2.3.1. Обнаружение мультиколлинеарности
- •2.3.2 Избавление от мультиколлинеарности. Метод главных компонент
- •2.4.Учет качественных факторов
- •2.4.1.Множественные переменные
- •2.4.2. Фиктивные переменные
- •2.4.3. Структурные изменения тенденций. Тест Чоу.
- •2.4.4. Модели бинарного выбора
- •Тема 3. Нелинейная регрессия (группа 3.3а)
- •3.1.Виды нелинейной зависимости
- •3.1.1.Основные понятия
- •3.1.2. Методы оценивания линеаризуемых функций:
- •3.1.3. Нелинеаризуемые функции и методы их оценки
- •1.Квазиньютоновский
- •2.Симплекс-метод
- •3.Метод Хука-Дживса
- •3.2.Проверка адекватности нелинейной регрессии
- •3.2.1. Показатели качества подгонки
- •3.2.2. Проверка гипотезы о значимости нелинейных моделей
- •3.2.3. Проверка выполнения условий для получения «хороших» оценок методом оценивания
- •3.3.Выбор типа зависимости
- •3.3.1. Теоретические предпосылки
- •3.3.2. Процедура Бокса – Кокса и тест Зарембеки
- •Тест Зарембеки
- •3.3.3.Производственные функции (пф)
- •3.3.4. Коэффициент эластичности
- •3.4.Спецификация и прогноз регрессионных уравнений
- •3.4.1. Информационные критерии (критерий Акайке, Шварца)
- •3.4.2. Ложная регрессия
- •3.4.3. Прогноз по регрессионным моделям. Доверительный интервал.
- •3.4.4. Применение регрессионного анализа в хеджировании
- •Тема 4. Системы регрессионных уравнений (группа 3.3б)
- •4.1.Понятие и виды сру
- •4.1.1. Система независимых уравнений
- •4.1.2. Системы рекурсивных уравнений
- •4.2. Структурный и приведенный виды сру
- •4.3 Идентификация модели
- •4.4 Оценка параметров сру
- •4.4.1.Кмнк.
- •4.4.2.Дмнк.
- •4.4.3.Тмнк.
- •Тема 5. Прогнозирование временных рядов (группа 3.7ммэ)
1) Состоятельность оценок
Это свойство хороших оценок сближаться с оцениваемыми величинами в каком-то смысле и тем самым увеличивать точность с ростом объема выборки.
Определение 3. Оценка называется состоятельной оценкой, если она стремится по вероятности к с ростом n: . Это означает, что для любого выполняется соотношение .
Пример 2. Выборочное среднее является состоятельной оценкой математического ожидания m. Это непосредственно следует из теоремы Чебышева теории вероятностей (см 5-й вопрос J) [end Пример 2]
Имеет место следующий критерий состоятельности оценок:
Теорема 1. Пусть и , где . Тогда - состоятельная оценка .
2) Несмещенность оценок
Свойство состоятельности характеризует асимптотическое поведение оценки при неограниченном увеличении объема выборки и не налагает никаких ограничений на поведение оценки при конечных размерах выборки. Можно сузить класс возможных оценок, если потребовать, чтобы математическое ожидание оценки равнялось бы оцениваемому параметру для всех n.
Определение 4. Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если . В противном случае оценка называется смещенной, а разность называется смещением оценки.
Пример 3. Выборочное среднее является состоятельной оценкой математического ожидания m=Mx всегда, когда последнее существует: [end Пример 3]
Пример 4. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии с отрицательным смещением .
Покажем это:
и, так как , то . Далее вспоминаем, что выборочное среднее – несмещенная оценка (т.е. ) расписываем выражение для дисперсии . И в итоге получаем: . Отсюда следует, что несмещенной оценкой генеральной дисперсии является статистика [end Пример 4] (данный пример – самый любимый дополнительный вопрос по этой теме)
3) Эффективность оценок
Хотя требования состоятельности и несмещенности значительно сужают множество возможных оценок, могут существовать несколько состоятельных и несмещенных оценок одного параметра. Нужно как-то осуществить выбор среди этих оценок. Если определить класс оценок и выбрать меру (критерий) близости оценки к оцениваемому параметру, то оценка, минимизирующая заданную меру близости, называется оптимальной в этом классе. Естественной мерой близости оценки является её дисперсия. В этом случае лучше несмещенная и состоятельная оценка с меньшей дисперсией, так как она в среднем будет меньше отклоняться от оцениваемого параметра, чем оценка с большей дисперсией. Будем предполагать, что дисперсии всех рассматриваемых оценок конечны.
Определение 5. Эффективной оценкой параметра для рассматриваемого распределения называется оценка класса Т состоятельных и несмещенных оценок, имеющих минимальную дисперсию .
Определение 6. Из двух оценок и одного параметра, одного распределения, одного класса Т состоятельных и несмещенных оценок более эффективной считается та, дисперсия которой меньше. Пусть, например, . Тогда отношение называется относительной эффективностью, а отношение - эффективностью оценки .
Определение 7. Оценка параметра для рассматриваемого распределения называется асимптотически эффективной в классе Т состоятельных оценок, если существует предел.