Свойства функций, непрерывных на отрезке

 

 Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.

 

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем

m  f(x)  M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

 

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

  [an error occurred while processing this directive]

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

 

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

 

Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х₀: f(x₀) = 0.

 

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х₁[a,b] и x₂[a,b] таких, что

х₂ – х₁< 

верно неравенство f(x₂) – f(x₁) < 

 

 Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности  зависит от  и х.

 

 Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

 

 Пример.

 

 

 

 Функция  непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоf(x₁) – f(x₂)>,  - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю.

 

 Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

  [an error occurred while processing this directive]

 Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

 

 

 

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода 

 

 

 у

 3

 

 2

 

 

 

Французский математик Лагранж более 100 лет назад доказал, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более 4 квадратов натуральных чисел. Возник вопрос: сколько надо k-тых степеней натуральных чисел, чтобы представить их суммой всякое натуральное число. Эту проблему поставил английский математик Варинг.

8.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Рекомендации к теме теория >>

Изучив теоретические материалы по данной теме, вы должны знать понятие производной функции, понимать геометрический и физический смысл производной, уметь применять их для решения задач, уметь находить производные функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.

Примеры.

1. Найти значение производной функции

Решение.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ: .

2. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e^-2x, параллельной прямой y=-x

Решение.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x₀. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1.Таким образом,  f'(x₀)=-1.

Уравнение касательной:

Уравнение касательной: y=1-1(x-0)=1-x

Ответ: y=1-x.

3. На параболе у=х²-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х²-2х-8:

k =у'=(х²-2х-8)'=2х-2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х²-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)²-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

9.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))

Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'_u, u'_x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'_x = y'_u u'_x.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Теорема доказана.

1.6. Производная обратной функции

Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y).

Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функция y=f(x) дифференцируема, и

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y).

Тогда получаем

10.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

еорема Ферма:

производная гладкой функции в точках локального максимума и локального минимума равна нулю. Точка называется точкой локального максимума, если существует такое, что значение функции в окрестности меньше, чем в точке . Точка называется точкой локального минимума, если существует такое, что значение функции в окрестности больше, чем в точке . Гладкая функция – всюду дифференцируемая функция, т.е. непрерывная и имеющая производную во всех точках определения ( ее можно погладить, не поранив руки). Пример негладкой функции . Доказательство: по определению пусть . С одной стороны, предел неположителен, с другой - предел неотрицателен единственное число, которое может примирить левую и правую части . .

Теорема Ролля:

Пусть - гладкая функция на отрезке и , тогда такая, что . Доказательство: т.к. функция гладкая, то она непрерывна. Непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

1. 

2. , то либо минимум, либо максимум, либо они оба достигаются во внутренней точке по теореме Ферма ч.т.д.

Теорема Лагранжа:

Пусть - гладкая функция на отрезке , тогда такая, что .

Можно задать вопрос: “А есть ли прямая, параллельная этой хорде?” Есть, конечно! Производная – угловой коэффициент касательной .

Доказательство: такая, что ч.т.д.

Следствие теоремы Ролля:

Если , то монотонно возрастает. Доказательство: пусть , где . монотонно возрастает. Обратное утверждение к теореме Ферма неверно, т.к. может быть перегиб. Пример:

11.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема 1.

 Пусть функция f(x) определена, дифференцируема на интервале Х, и f ' (x) = 0 на Х. Тогда функция f(x) является постоянной на Х.

Доказательство.  Пусть x₀ - некоторая фиксированная точка из Х и х-любая другая точка из Х. Для сегмента [x₀, x]  (или [x, x₀]) удовлетворены все условия теоремы Лагранжа, следовательно, между точками х₀ и х найдется точка  , такая что    Так как f( )=0, то для  , т.е. значение функции f(x) в любой точке х Х равно ее значению в фиксированной точке х₀, т.е. постоянна всюду в Х.

Замечание. Геометрический смысл теоремы: если касательная в каждой точке некоторого участка графика функции y=f(x) параллельна оси ОХ, то этот участок есть отрезок прямой, параллельный оси ОХ.

Необходимые и достаточные условия

Рассмотрим теорему

Предикат является истинным для всех тогда и только тогда, когда множество истинности предиката содержится в множестве истинности предиката , т.е. предикат является следствием предиката . При этом предикат называют необходимым условием для предиката , а предикат — достаточным условием для .

Пример. Рассмотрим утверждение: “Если число делится на 6, то число делится на 3”. Здесь предикат : “Число делится на 6”, а предикат : “Число делится на 3”. Предикат логически следует из предиката . Предикат (делимость числа на 6) является достаточным условием для предиката (делимость числа на 3). Предикат (делимость числа на 3) является необходимым условием для предиката (делимость числа на 6).

Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы

Это возможно при условии, что предикаты и равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие является достаточным для , а из второй теоремы следует, что условие является необходимым для . Таким образом, в этом случае условие является и необходимым, и достаточным условием для . Аналогично, условие является необходимым и достаточным для .

Пример. Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.