Комплексные числа

 

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

 

 

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая  D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

 

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

 

Основные договорённости:

1.  Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа:  a+ 0 i  или  a – 0 i.  Например, записи  5 + 0 i  и  5 – 0 i  означают одно и то же число  5 .

 

2.  Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

 

3.  Два комплексных числа  a+ bi и c+ di считаются равными, если  a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

 

  1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

 

П р и м е р .  ( a+ bi )( a – bi )= a ² + b ². Следовательно, произведение

                      двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

                      положительному числу.

 

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:  

                       Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3i                        

                       и выполнив все преобразования, получим:

 

                               

 

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой: 

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и  O  – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен:

 

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.                __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan = b / a . 

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент :

 

 

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

 

        Это знаменитая формула Муавра.

 

 

 

Здесь  k  - целое. Чтобы получить  n  различных значений корня  n-ой степени из  z  необходимо задать  n  последовательных значений для  k  ( например,  k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .

 

Что значит найти рациональное приближение вещественного числа? Какое приближение следует считать хорошим? На эти вопросы можно отвечать по-разному. Mathematica, например, считает, что рациональное число p/q — лежит довольно близко к вещественному х, если существует с, примерно равное 10 ^-4, такое, что Вот как можно составить список рациональных приближений числа π с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; ... 10 20. Обратите внимание на то, насколько добросовестно система Mathematica подыскивает рациональные приближения. Хотя знаменатели рациональных чисел невелики, найденные приближения настолько хороши, что повторяются в этом списке дважды. Иными словами, они приближают л на порядок лучше, чем было первоначально "заказано" с помощью второго параметра.

4.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Определение элементарных функций.

Функции С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х  называются простейшими элементарными функциями.

Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные фун­кции, которые называются элементарными функциями.

Например, у = sin  (xⁿ) — элементарная функ­ция.

Элементарные функции нам известны из школьной математики.

Функция, и её свойства:

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.   

●Переменная х - независимая переменная или аргумент.

●Переменная у - зависимая переменная.

●Значение функции - значение у, соответствующее заданному

значению х.

●Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

●Область значений функции (множество значений)- все значения,    которые принимает функция.

●Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).

●Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

●Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).

●Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).

Способы задания функции:

●Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

●На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

Определение функции.

         Функция, прежде всего,  – это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции.

         Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y.  Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.

5.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Содержание [показать]

Определение Править

Пусть дано топологическое пространство T и последовательность x_n. Тогда, если существует элемент такой, что

,

где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности x_n. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

,

где d(x,y) — метрика, то x называется пределом x_n.

Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве x_n последовательность x_n = ( − 1)ⁿ, то у неё не будет предела. Если у последовательности существует предел, то она называется сходящейся, если нет — расходящейся. В общем случае пределов может быть несколько. Например, если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства. Однако при наложении некоторых условий на пространство можно достичь единственности предела в случае его существования. 88

Общие свойства Править

• Если пространство хаусдорфово (в частности, если оно метрическое), то у каждой последовательности существует не более одного предела. Предположим, что имеется как минимум два разных предела, x и y. Возьмём их непересекающиеся окрестности: по определению предела, все элементы последовательности с достаточно большими номерами будут содержаться только в одной из них — значит, предположение о двух пределах неверно.

• Верно обратное: если пространство нехаусдорфово, то существуют последовательности с более чем одним пределом.

Случай вещественных чисел Править

Пределом последовательности вещественных чисел называется число A, если выполнено следующее условие:

,

то есть для любой окрестности точки A можно указать номер, начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в этой окрестности. Также можно дать эквивалентное определение: число A называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне этой окрестности — лишь конечное число. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу A, если нет, то расходящейся. Тот факт, что число A является пределом последовательности {x_n}, записывается следующим образом:

.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Всё вышесказанное относилось к конечным пределам, но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: и . Для примера запишем определение предела, равного плюс бесконечности:

.

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

Свойства Править

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

1. , где k — константа;

2. , если указанные пределы существуют;

3. при том же условии;

4. , если пределы существуют и .

Свойства 1—3 очевидным образом выводятся из определения предела; докажем последнее свойство. Для начала нужно доказать, что 1 / y_n сходится к 1 / b, где b — предел y_n. Рассмотрим разность . При достаточно больших n она имеет смысл, так как y_n не равен нулю.

Проведём преобразования:

.    (1)

Последовательность 1 / y_n ограничена, то есть меньше некоторого числа M. Поскольку y_n сходится к b, то существует . Подставим эти значения в выражение (1) и получим, что при таких n разность , ч. т. д.

Верны также следующие теоремы:

• Если при достаточно больших n (или, как говорят, финально) выполняется неравенство x_n < y_n, то, если обе последовательности имеют пределы a и b, можно утверждать, что . Для доказательства сначала доказывается обратный факт (если a < b, то последовательности финально разграничены, а если a = b, то о неравенстве членов последовательностей ничего сказать нельзя). Действительно, у a и b можно взять непересекающиеся окрестности (такие, что каждая точка первой лежит левее каждой точки второй на числовой прямой), в которых финально должны будут лежать та и другая последовательности.

• Если финально x_n < y_n < z_n и пределы x_n и z_n равны A, то предел y_n также существует и равен A (так называемая теорема о двух милиционерах). Докажем её: для любого при достаточно больших n верно следующее:

,

то есть y_n лежит в -окрестности точки A, а значит, A по определению является её пределом.

• Если две последовательности отличаются друг от друга лишь конечным числом членов и у одной из них есть предел, то предел есть и у другой и их пределы равны.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

Примеры Править

• Предел последовательности, все члены которой равны числу x, равен x.

• Если у последовательности чисел x_n существует предел x, и если задана функция f(x), определенная для каждого x_n и непрерывная в точке x то     

• Пределы последовательностей и равны 0.

• Если у последовательности x_n существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности положительных чисел x_n существует предел x, то

.

• Если последовательность x_n положительна, а у последовательности существует предел, то к тому же пределу сходится последовательность . Для доказательства нужно применить предыдущий пример к последовательности . В частности, .

• Предел последовательности x_n = n равен .

• У последовательности (единицы и двойки чередуются) нет предела.

6.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определения

Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .^[1]

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Окрестностное определение по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть  — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

• число называется пределом функции по (при) базе , если для всякого найдётся такой элемент базы, что для любого выполнено .

Если  — предельная точка множества , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке . Эта база имеет специальное обозначение « » и читается «при , стремящемся к по множеству ». Если область определения функции совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « » и читается «при , стремящемся к ».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

• , где ;

• , где .

Соответственно этому вводятся две базы:

• « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « »;

• « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « ».

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.^[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

7.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------