2. Приклади типових завдань, що виносяться на іспит

1. Дані, наведені в таблиці, характеризують витрати на рекламу продукції (млн. грн) – Х, та обсяг її реалізації (млн. грн) – Y .

xi	2	3	5	7	10
yi	14	16	20	25	32

Потрібно:

а) побудувати кореляційне поле точок;

б) обчислити числові характеристики , , , , r_xy;

в) визначити коефіцієнти , , записати рівняння парної лінійної регресії, дати економічну інтерпретацію параметрів моделі;

г) накреслити графік лінії регресії;

д) визначити прогнозний обсяг реалізації продукції, якщо витрати на рекламу складають 12 млн. грн.

2. Модель характеризує залежність обсягу наданих кредитів (млн.грн) від рівня процентної ставки. Рівняння побудоване на основі емпіричних даних, наведених в таблиці:

xi	18	20	24	25	27
yi	40	34	32	28	27

Потрібно:

1) Здійснити економетричний аналіз моделі:

– перевірити статистичну значущість коефіцієнта кореляції r та параметра при рівні значущості  = 0,04;

– побудувати довірчі інтервали для теоретичних параметрів моделі при рівні надійності  = 0,95;

– визначити коефіцієнт детермінації, пояснити що він означає.

2) Побудувати точковий та інтервальний прогноз для залежної змінної при рівні надійності  = 0,95 (х_пр задати самостійно).

3. В результаті дослідження чинників економічного зростання побудовано таку модель (обсяг вибірки – 73 країни):

Y = 1,4 – 0,52X + 0,17 X + 11,16 X – 0,38 X – 4,75 X + ,

(5,9) (4,34) (3,91) (0,79) (2,7)

Де Y – темп росту середнього значення ВВП на душу населення у % до базового періоду; X – реальні середні значення ВВП на душу населення, %; X – бюджетний дефіцит у % до ВВП; X – обсяг інвестицій, % до ВВП; X – зовнішній борг, % до ВВП; X – рівень інфляції, %.

В дужках вказані спостережувані значення t-критерія. Відомий також коефіцієнт детермінації R² = 0,78.

Потрібно:

1. Перевірити загальну якість даної моделі.

2. Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості  = 0,02 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.

3. Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі при рівні надійності  = 0,95.

4. Визначити частинні коефіцієнти еластичності.

4. Побудовано модель залежності середньомісячної ринкової ціни акцій підприємства (Y, грн./акція) від обсягу сплачених дивідендів на акцію (Х₁, грн./місяць) та обсягу коштів, спрямованих підприємством на розширення виробництва (Х₂, сотні тис. грн. /місяць):

y_i = 2,4 + 1,6 х_i1 + 0,9 х_i2 + е_i.

Відомо також, що = 10,5, , п = 20.

Побудувати точковий та інтервальні прогнози для залежної змінної, якщо х_пр.1 = 10, х_пр.2 = 2, а рівень надійності  = 0,99.

5. Розрахувати незміщені оцінки дисперсії залежної змінної, дисперсії регресії та дисперсії залишків на основі розрахунків функції „Линейн” MS Excel:

-0,56043	1,905966
0,10066	0,178718
0,815776	0,297171
30,99719	7
2,737381	0,618174

6. Аналізується прибуток підприємства Y (млн.$) в залежності від витрат на рекламу Х (млн.$). За спостереженнями на протязі 9 років отримані наступні дані:

Y	5	7	13	15	20	25	22	20	17
X	0,8	1	1,8	2,5	4	5,7	7,5	8,3	8,8

1) Побудуйте кореляційне поле і висуньте гіпотезу, щодо виду залежності між показниками.

2) Оцініть за МНК параметри лінійної регресії Y = /

3) Оцініть якість побудованої регресії.

4) Знайдіть за допомогою МНК оцінки параметрів квадратичної регресії

Y = .

5) Оцініть якість побудованої моделі. Яку з моделей варто обрати для подальшого дослідження?

7. Для двох видів продукції А і В моделі залежності питомих постійних витрат від об’єму випущеної продукції мають вигляд:

Yв = 80 + 0,7*х

Yс = 40*x^0.5

1) Визначити коефіцієнти еластичності по кожному виду продукції та пояснити їх зміст.

2) Порівняти еластичність затрат для обох видів продукції при х=1000.

3) Визначити, яким повинен бути об’єм випущеної продукції, щоб коефіцієнти еластичності для продукції А та В стали рівними.

8. Нехай Y = , де С – фіктивна змінна, що відображає стать суб’єкта дослідження (С=0 для жінок і С=1 для чоловіків). Середнє значення змінної Y для 15 чоловіків дорівнює 5, для 25 жінок – 3. При цьому відомо, що дисперсія залишків становить 64.

1) Визначте оцінку коефіцієнтів та .

2. Перевірте гіпотезу про те, що =1( =0,05).

9. В нижченаведеній таблиці Y – місячний обсяг попиту на товари першої необхідності сім’ї з трьох чоловік (ум.гр.од.), Х – місячний рівень доходу сім’ї (ум.гр.од.):

Х	2,5	1,4	0,9	2,7	1,8	2,2	2,4	1,9	1,6	1,2
Y	0,8	1,1	0,7	0,9	1,0	1,2	0,9	0,6	0,7	0,5

Перевірити, яка з моделей краще наближає емпіричні дані: лінійна, степенева чи гіперболічна.

Перевірити статистичну значущість зв’язку в кожній з цих моделей.

10. Відомі дані щодо середньомісячного рівня зайнятості (Х, %) та рівня інфляції (Y, %):

Х	32	35	36	34	38	36	37	40
Y	5,4	6,1	6,2	5,8	6,3	6,0	5,9	6,3

Побудувати гіперболічну модель, визначити коефіцієнт детермінації та коефіцієнт еластичності.

11. На основі даних, наведених в таблиці, визначити коефіцієнти

Y	X1	X2	X3
30	4	10	16
35	2	13	18
40	3	14	14
44	8	15	10
45	7	18	12
42	10	20	9
48	15	23	12
50	14	25	8
55	10	27	5

кореляції для кожної пари регресорів та записати матрицю r. Чи буде присутня в моделі, побудованій на основі цих змінних, ознака мультиколінеарності?

Визначити коефіцієнти кореляції між регресорами та залежною змінною, записати вектор r.

Яким чином можна усунути мультиколінеарність з моделі?

12. Відомі статистичні дані щодо ціни на товар даного підприємства – X₁, грн., та ціни на товар-аналог конкуруючого підприємства – X₂, грн.:

X1, грн	10	8	12	15	14	16	18
X2, грн	9	7,2	10,8	13,5	12,6	14,4	16,2

Знайти det і зробити висновок – чи можна ці змінні використовувати в якості регресорів моделі множинної лінійної регресії.

13. Відомі дані щодо місячного обсягу прибутку 15 підприємств галузі – Х (млн.грн), та обсягу дивідендів, сплачених цими підприємствами за місяць – Y (млн.грн):

Х	3	5	8	10	12	14	7	6	9	10	5	7	4	12	15	18
Y	0,2	1,2	4,0	1,5	2,0	3,5	0,8	2,2	1,4	5,0	2,1	1,8	2,3	8	1,6	10

Побудувати модель парної лінійної регресії. Перевірити за тестом Гельдфельда-Квандта, чи виконується умова гомоскедастичності залишків.

14. Задано: По відомому значенні

Побудувати матрицю і визначити емпіричний вектор Записати рівняння регресії.

15.Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:

-0,58

-0,97

-0,02

0,04

-0,02

0,31

-0,25

0,86

-0,42

0,37

0,68

Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона.

16. Для оцінювання параметрів моделі скористайтеся методом перетворення вихідної інформації, яку задано у вигляді двох взаємопов’язаних часових рядів:

Рік	1	2	3	4	5	6	7
Y	10	12	11	10	13	14	16
X	5	7	6	4	7	8	10

а залишки задовольняють авторегресійну схему першого порядку: .

17. В таблиці наведені дані, які характеризують динаміку щотижневого обсягу реалізації продукції підприємства (y_i, сотні тис.грн):

№ тижня	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	16	10	18	25	17	14	20	22	27	13

1) Обчислити ковзні середні для значень m = 3, 5 і визначити загальну тенденцію зміни часового ряду графічно.

2) Визначити аналітичний вираз тренду (підібрати функцію ).

18. Розгляньте ідентифікованість кожного рівняння і визначіть, які методи для оцінки параметрів є придатними, якщо ?

19. Визначити наявність коінтеграції між доходами на душу населення Y_t та витратами на споживання X_t на основі критерію Енгла-Грейджера та Дарбіна-Уотсона, якщо було отримано для залежності та наступні розрахунки в MS EXCEL:

Xt	Yt					Yt*	εt	Δεt
7264	6698		0,834899599	615,6998		6680,41	17,59
7382	6740		0,012052316	110,0794		6778,93	-38,93	-56,52		-1,25048	-0,23062
7583	6931		0,997298276	56,79044		6946,74	-15,74	23,19		0,291594	15,31912
7718	7089		4798,742555	13		7059,45	29,55	45,29		0,605142	57,14449
8140	7384		15476683,93	41927,00		7411,78	-27,78	-57,33		18,39064	12
8508	7703					7719,03	-16,03	11,76		60054,49	39185,91
8822	8005					7981,18	23,82	39,84
9114	8163					8224,97	-61,97	-85,79
9399	8506					8462,92	43,08	105,05
9606	8737					8635,75	101,25	58,18
9875	8842					8860,33	-18,33	-119,59
10111	9022					9057,37	-35,37	-17,04
10414	9425					9310,34	114,66	150,03
11013	9752					9810,45	-58,45	-173,10
10832	9602					9659,33	-57,33	1,12