5.5. Емкость конденсатора с диэлектриком

Давайте посмотрим, чему равняется емкость конденсатора, если внутрь его помещен диэлектрик. По определению емкость конденсатора представляет собой отношение заряда к разности потенциала на его обкладках U. Для плоского конденсатора с диэлектриком разность потенциалов U = Е_дd. Используя выражение (5.6), получим:

.

Отсюда значение емкости конденсатора с диэлектриком:

.

Из последнего выражения видно, что емкость конденсатора с диэлектриком увеличивается по сравнению с емкостью пустого конденсатора во столько раз, во сколько диэлектрическая проницаемость диэлектрика больше диэлектрической проницаемости вакуума.

В связи с тем, что емкость конденсатора при внесении в него диэлектрика увеличивается, изменяются и другие характеристики этого конденсатора. Допустим, что в конденсатор, подключенный к источнику напряжения U₀, вводят слой диэлектрика, полностью заполняющего его объем. Например, внутрь конденсатора заливают масло или керосин с относительной диэлектрической проницаемостью . Так как напряжение на обкладках конденсатора и до и после внесения диэлектрика оставалось неизменным, то в результате изменения емкости должен измениться заряд на обкладках конденсатора. До внесения диэлектрика заряд конденсатора был q₀ = С₀U₀. После внесения диэлектрика заряд изменился и стал q = СU₀ =  С₀U₀ =  q₀. Заряд увеличился в  раз.

Напряженность электрического поля внутри конденсатора:

– до внесения диэлектрика

;

– после внесения диэлектрика

.

Электрическое поле внутри конденсатора после внесения диэлектрика не изменяется, если разность потенциалов между его обкладками остается неизменной.

Напряженность электрического поля внутри конденсатора может измениться, если заряженный до напряжения U₀ конденсатор перед заполнением диэлектриком отключить от источника питания. Что произойдет в этом случае с зарядом на обкладках конденсатора?

Когда пустой конденсатор зарядили до напряжения U₀, то на его обкладках появился заряд q₀ = С₀U₀. После того как конденсатор отключили от источника напряжения и заполнили диэлектриком, его емкость возросла в  раз, заряд конденсатора остался прежним. Разность потенциалов на пластинах конденсатора уменьшилась в  раз:

.

Это привело к тому, что напряженность поля внутри конденсатора уменьшилась также в  раз, так как

.

5.6. Вектор электростатической индукции

При рассмотрении поля в вакууме для характеристики этого поля была введена величина, называемая напряженностью электрического поля . В диэлектрике эта характеристика поля иногда оказывается неудобной, ее использование приводит к довольно сложным расчетам, возникающим при решении физических задач. Дело в том, что в диэлектрике источником поля являются все электрические заряды – свободные и связанные. Наличие связанных зарядов приводит к усложнению расчетов, поскольку их распределение в диэлектрике не всегда можно просто рассчитать. В связи с этим оказывается более удобным использование характеристики поля, которая называется электростатической индукцией, вектор которой связан с вектором напряженности электрического поля следующим образом:

. (5.9)

Для изотропных диэлектриков вектор поляризации линейно зависит от напряженности электрического поля:

.

Следовательно, в этом случае

. (5.10)

Вектор электростатической индукции иногда называют еще вектором электрического смещения. Он представляет собой сумму двух величин (5.9), имеющих различный физический смысл, поэтому является вспомогательным вектором, удобным для расчетов и не имеющим глубокого физического смысла. Во многих случаях введение вектора значительно упрощает вычисление характеристик электрического поля в диэлектрике.

Соотношение (5.9) для вектора справедливо для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. В случае изотропных диэлектриков (5.10) вектор оказывается коллинеарен вектору . В анизотропных диэлектриках эти векторы, в общем случае, направлены в разные стороны.

Поле вектора можно наглядно изобразить с помощью линий вектора , направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора . Однако между этими линиями имеется одно отличие. Линии вектора начинаются и заканчиваются как на свободных, так и на связанных зарядах, источником поля вектора являются любые заряды. Источником поля вектора являются только свободные заряды, только на свободных зарядах могут начинаться и заканчиваться линии . Через область поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят, не прерываясь.

Для вектора выполняется закон Гаусса-Остроградского, который утверждает, что поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

. (5.11)

Если внутри поверхности, через которую мы вычисляем поток вектора , находятся распределенные заряды, то закон Гаусса-Остроградского записывается следующим образом:

.

Интегрирование в правой части полученного выражении проводится по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S.

Используя выражение (5.11) и закон Гаусса-Остроградского для вектора , можно сформулировать этот закон для вектора поляризации диэлектрика . Будем считать, что в диэлектрике имеются свободные заряды q. Поле этих зарядов будет возбуждать поляризацию диэлектрика, в результате в нем появятся связанные заряды q. Поскольку напряженность электрического поля зависит как от свободных, так и от связанных зарядов, то для нее можно записать:

. (5.12)

Используя (5.11), перепишем выражение (5.12) следующим образом:

. (5.13)

Вспомнив определение вектора , преобразуем выражение (5.13):

.

Окончательно получаем:

.

Мы получили выражение, которое является законом Гаусса-Остроградского для вектора поляризации диэлектрика . Согласно этому закону поток вектора поляризации диэлектрика через произвольную замкнутую поверхность равняется сумме связанных зарядов q, возникших в результате поляризации диэлектрика и оказавшихся внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком.

Теперь рассмотрим пример, из которого будет понятно, в каких случаях вместо напряженности электрического поля удобнее использовать электростатическую индукцию . Рассчитаем электрическое поля вокруг положительного точечного заряда q, помещенного в центре сферической полости, расположенной внутри диэлектрика (рис.5.9).

Рис.5.9

Будем считать, что внутри полости вакуум, следовательно, напряженность электрического поля равна

.

В диэлектрике она равна

.

На границе полости с диэлектриком концентрируются связанные отрицательные заряды (если точечный заряд в полости положительный) и напряженность поля в диэлектрике уменьшается в  раз. Соответственно, скачком уменьшается густота линий напряженности электростатического поля (на рис.5.10, а в полости проходит 8 линий , а в диэлектрике их осталось всего 4).

Поле вектора электростатической индукции в обеих областях будет изображаться непрерывными линиями (на рис.5.10, б число линий вектора и в полости, и в диэлектрике одинаково – 4 линии). Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением вектора в той же точке, а число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к ним, равнялось бы численному значению D в данном месте.

Рис.5.10

Для рассмотренного выше примера электростатическая индукция в полости , а в диэлектрике . Следовательно, линии вектора электростатического смещения на границе с диэлектриком не будут прерываться. Сопоставляя ход линий и , можно отметить основное различие между этими полями. Линии вектора начинаются и заканчиваются на любых (как свободных, так и связанных) зарядах, поэтому на границе диэлектрика густота этих линий изменяется скачком. Линии вектора начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах, и на границе диэлектрика их густота остается неизменной.

Необходимо заметить, что напряженность электрического поля и электростатическая индукция в СИ имеют различную размерность. Это связано с тем, что электрическая постоянная ₀ в СИ имеет свою размерность. Размерность напряженности электрического поля: Н/Кл (ньютон на кулон). Размерность электростатической индукции: (кулон на метр квадратный).

В системе СГС напряженность электрического поля и электростатическая индукция имеют одинаковую размерность, так как в этой системе электрическая постоянная ₀ = 1. Связь единиц измерения величины электростатической индукции в СИ и СГС следующая:

СГС ед. электростатической индукции

.