8.4.1.1. Критерій Байєса

Критерій Байєса також називають критерієм середньозваженого (сподіваного) прибутку, затрат, ризику тощо.

Згідно з критерієм Байєса у випадку, коли F = F⁺, оптимальним рішенням вважається таке, для якого математичне сподівання відповідного вектора оцінювання досягає найбільшого можливого значення, тобто знаходять, виходячи з умови:

:^*) В⁺( ; Р) = В⁺(х_k; Р),

де В⁺(х_k; Р) = = М(F ).

Якщо ж F = F^–, то оптимальне рішення визначається, виходячи з умови:

: ( ; Р) = (х_k; Р),

де (х_k; Р) = = М( ).

Якщо максимум досягається на кількох рішеннях з множини Х (множину яких позначимо через Х^*), то такі рішення називаються еквівалентними відносно даного критерію.

Описаний підхід до визначення оптимальної стратегії в теорії статистичних рішень називається байєсівською стратегією.

Величина В⁺(х_k; Р) (чи В^–(х_k; Р)) називається байєсівською оцінкою рішення х_кХ.

У теорії статистичних рішень доводиться, що стратегія , яка є оптимальною з точки зору Байєса (у випадку, коли F = F⁺ чи F = F^–), збігається зі стратегією, яка мінімізує сподіваний ризик (тобто стратегія, яка є оптимальною за критерієм Байєса, водночас є оптимальною з позиції мінімуму сподіваного ризику невикористаних можливостей).

Якщо функціонал оцінювання задано в ризиках, то відповідну величину називають байєсівським ризиком рішення



Приклад 8.4. Виходячи з умови задачі про фруктового дилера (приклад 8.2), знайти рішення, яке є оптимальним з позиції критерію Байєса.

Розв’язання. Розподіл ймовірності станів ЕС був установлений під час розв’язання прикладу 8.2:

.

Знаходимо оцінки Байєса для відповідних рішень:

Оскільки ФО має позитивний інгредієнт , то з урахуванням того, що

,

оптимальним для дилера згідно з критерієм Байєса є рішення х₃ — закупка 6 кошиків малини.

Якщо ж тепер в якості ФО використати матрицю невикористаних можливостей (приклад 8.3), то отримаємо Байєсівські ризики для відповідних рішень:

Оскільки функціонал оцінювання має негативний інгредієнт,

,

то (як і раніше) робимо висновок про оптимальність рішення x₃ (на цей раз — з позиції Байєсівського ризику)._-

8.4.1.2. Модальний критерій

У випадку, коли оптимальне рішення відшукується з умови:

,

де — мода випадкової величини . У дискретному випадку відповідає станові ЕС, ймовірність настання якого є найбільшою, в неперервному випадку — точці максимуму функції щільності розподілу ймовірності.

У випадку, коли

.

8.4.1.3. Критерій мінімального сподіваного значення несприятливих відхилень від моди

У випадку, коли ⁺ чи ,

,

де — сподіване значення несприятливих відхилень від моди для рішення х_k; — сумарна ймовірність настання несприятливих відхилень (у випадку, коли , значення сподіваного несприятливого відхилення покладається рівним нулеві, тобто ), — вектор індикаторів несприятливих відхилень по відношенню до модального значення (х_k; Мо()).

Наприклад, у випадку, коли ⁺, для рішення х_k

.

Приклад 8.5. Виходячи з умови задачі про фруктового дилера (приклад 8.2), знайти рішення, яке є оптимальним з позицій:

а) модального критерію;



б) критерію сподіваного значення несприятливих відхилень від моди.

Розв’язання: а) Оскільки з найбільшою ймовірністю може настати випадкова подія ₃ ( Р(₃) = 0.4 ), то Мо() = ₃. Так як ФО має позитивний інгредієнт ( ⁺), то з урахуванням того, що max{f(x₁; ₃); f(x₂; ₃); f(x₃; ₃); f(x₄; ₃); f(x₅; ₃)} = 60 = f(x₃; ₃), оптимальним для дилера згідно з модальним критерієм є рішення

х₃ ( = х₃).

б) Оскільки Мо() = ₃, то несприятливі відхилення задовольняють умову:

f(х_k: _j) < f(x_k; Mo()) = f(x_k;₃); k = 1, ..., m.

Оскільки для рішення х₁ величина f(x₁; Mo()) = 40, то всі відхилення є сприятливими, тобто ₁ = {₁₁; ₁₂; ₁₃; ₁₄; ₁₅;} = = {0; 0; 0; 0; 0; 0;}, а тому величина сподіваного відхилення також дорівнює нулеві: .

Для рішення х₂:

f(x₂; Mo()) = 50; ₂ = {1;0;0;0;0}; = 1 · 0,1 = 0,1; =50 – · 1 · 0,1 · 25 = 25.

Для рішення х₃:

f(x₃; Mo()) = 60; ₃ = {1;1;0;0;0}; = 0,1 + 0,2 = 0,3; = 60 – · (10 · 0,1 + 35 · 0,2) = 33,33.

Для рішення х₄:

f(x₄; Mo()) = 45; ₄ = {1; 1; 0; 0; 0}; = 0,3; =45 – · (– 5 · 0,1 + 20 · 0,2) = 33,33.

Для рішення х₅:

f(x₅; Mo()) = 60; ₅ = {1; 1; 0; 0; 0}; = 0,3; = 30 – · (– 20 · 0,1 + 5 · 0,2) = 33,33.

Оскільки min{ ; ; ; ; } = 0 =  , то з позиції даного критерію найкращим слід вважати рішення х₁, після нього — рішення х₂, решту рішень — еквівалентних між собою._-