2.5. Функция Лапласа ф(х)

Свойства функции:

1) Область определения: х (-; +);

2) множество значении: - 0,5 < Ф(х) < 0,5;

3) нечетность: Ф(–х) = – Ф(х);

4) строгое возрастание при х (-; +);

5) перегиб при х = 0, Ф(х) = 0;

6) при х  + , Ф(х)  0,5; х  – , Ф(х)  – 0,5;

Ф(x)

0.5

0 x

-0.5

Геометрически Ф(х) – площадь под кривой на промежутке [0; x] (см. приложение 1). Значения функции Ф(х) берутся по таблице (приложение 2). В таблице помещены значения х [0; +5]. Если х > 5, Ф(х) = 0,5. Для отрицательных значений Ф(–х) = – Ф(х).

2.6. Наивероятнейшее число

Наивероятнейшее число появлений события А в n независимых испытаниях - это такое число К₀, которому соответствует самая большая вероятность по сравнению со всеми другими значениями К:

К - целое число из интервала , где р = р(А), q = р( ) для одного испытания.

Наивероятнейшее число может принимать либо одно, либо два значения. Если np – целое, К₀ = np.

Если np – q – дробное, то К₀ – единственное.

Если np – q – целое, то np + p = np + (1 – q) – целое, и наивероятней­шее число имеет два значения: К₀´= np – q; К₀´´= np + p.

Соответствующие вероятности им Р_n(К₀´) и Р_n(К₀´´) в этом случае равны:

Р_n(К₀´)= Р_n(К₀´´).

Вероятность, соответствующая наивероятнейшему числу, находится по формуле Бернулли (n  10), либо по локальной формуле Лапласа (n 10).

Пример. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед при­знает годными к продаже.

Решение. По условию n = 24, p = 0,6, q = 0,4.

24*0,6 – 0,4  К₀  24*0,6+0,6.

14  К₀  15.

Так как np – q = 14 – целое число, то наивероятнейших чисел два: К₀´= 14 и К₀´´ = 15.

Тема 3. Случайные величины

3.1. Виды случайных величин

Случайной величиной называется переменная, принимающая свои возможные значения в зависимости от исходов испытания. Обозначается: Х,У, Z, U, V, T, …

Виды случайных величин: дискретная и непрерывная.

Закон распределения:

Многоугольник распределения

Основные характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

1. Математическое ожидание (среднее взвешенное значение случайной величины):

2. Дисперсия (рассеяние наблюдаемых значений) Х случайной величины от среднего значения a):

Характеризует рассеяние в квадратных единицах.

3. Среднее квадратическое отклонение (рассеяние фактических значений Х_i от среднего а, в тех же единицах, что и Х, в отличие от D(Х):

Расчетная формула для вычисления дисперсии:

,

где ;

Пример. В лотерее на каждые 100 билетов разыгрываются: один выигрыш 1 млн. руб., два выигрыша по 500 тыс. руб., десять выигрышей по 100 тыс. руб., двадцать - по 10 тыс. руб. Остальные билеты не выигрывает, составить закон распределения величины выигрыша для купившего один билет и найти его основные характеристики.

Решение. Х руб. величина выигрыша одного билета.

Р(Х=1млн)=1/100; Р(Х=500 т.р.)=2/100; Р(Х=100 т.р.)=10/100;

Р(Х=10 т.р.)=20/100;

Закон распределения величины выигрыша Х:

Х	0	10 т.р.	100 т.р.	500 т.р.	1 млн.р.
Р	0,67	0,20	0,10	0,02	0,01

М(Х) = 0*0,67+10*020+100*0,10+500*0,02+1000*0,01=32 руб. – ожидаемый средний выигрыш на один билет.