1.12. Примеры решения задач с использованием основных теорем теории вероятностей

Пример 1. Два стрелка стреляют по мишени, вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,9, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень: 1) только один из стрелков попадет; 2) оба стрелка попадут; 3) оба промахнутся; 4) хотя бы один стрелок попадет.

Решение. Обозначим события.

А – попадание первого стрелка, Р(А) = 0,9;

- промах первого стрелка, Р( ) = 0,1;

В - попадание второго стрелка, Р(В) = 0,8;

- промах второго стрелка, Р( ) = 0,2;

1) Р (только один попадет) = Р(А* _{+ *}В) = 0,9*0,2 + 0,1*0,8 = 0,18 + 0,08=0,26;

2) Р (оба попадут) = Р(АВ) = 0,9*0,8 = 0,72;

3) Р (оба промахнутся) = Р( ) = 0,1*0,2 = 0,02;

4) Р (хотя бы один попадет) = 1 – Р( ) = 1 – 0,02 = 0,98.

Пример2. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук первого сорта и 60 штук второго сорта. Найти вероят­ность того, что взятые наудачу два изделия окажутся: 1) одного сорта, 2) разных сортов.

Решение. Обозначим события: А₁ – первое взятое изделие первого сорта, А₂ – второе взятое изделие первого сорта, В₁ – первое взятое изделие второго сорта, В­₂ – второе взятое изделие второго сорта.

1.

2.

Пример3. Вероятность того, что танк попадет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк при этом подорвется на мине, если 15% мин имеют дефект взрывателя?

Решение. Обозначим события:

А – танк попадет на мину;

В – мина имеет дефект взрывателя;

Д – танк взорвется, если наедет на мину и мина не имеет дефекта взрывателя.

Р(Д) = Р(А ) = Р(А)*Р_А( ) = 0,4*0,85 = 0,34.

1.13. Формула полной вероятности

Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, Н_n. События Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу события, т.е.

Р(Н₁) + Р(Н₂) + …+ Р(Н_n) = 1.

Вероятность события А находится по формуле полной вероятности:

или коротко

где Р(Н_i) – вероятность осуществления гипотезы Н_i, Р_Нi(А) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Пример. Три завода выпускают телевизоры одной марки, первый – 40% всей продукций, второй – 35% и третий – 5%. Брак составляет на первом заводе 2%, на втором – 1%, на третьем – 3%. Из общей продук­ции этих заводов выбран один телевизор. Какова вероятность того, что он окажется с браком?

Решение. Событие А - выбран телевизор с браком. Гипотеза Н₁ – телевизор изготовлен 1-м заводом, гипотеза Н₂ – вторым заводом, Н₃ – третьим заводом.

Р(Н₁) = 0,4; Р_Н1(А) = 0,02;

Р(Н₂) = 0,35; Р_Н1(А) = 0,01;

Р(Н₃) = 0,25; Р_Н1(А) = 0,03.

Контроль Р(Н₁) + Р(Н₁) + Р(Н₁) = 0,4 + 0,35 + 0,25 = 1.

Тогда Р(А) =0,4* 0,02 + 0,35 * 0,01 + 0,25*0,03 = 0,015.

1.14. Формула Бейеса

Если событие А в результате испытания произошло, то возможно переоценить вероятность гипотез Н_i, образующих полную группу, по формуле Бейеса: ,

где Р(Н_i) – вероятность гипотезы, Р_А­(Н_i) – вероятность гипотезы Н_i после переоценки, при условии, что событие А уже произошло; Р_Нi­(А) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Н_i .

Пример. Первая машинистка печатает в два раза быстрее, чем вторая. Вероятность того, что первая машинистка допускает ошибки на странице, равна 0,2. Вероятность того, что вторая машинистка допускает ошибку на странице, равна 0,3. Одна взятая наудачу страница содер­жит ошибку, какова вероятность того, что она допущена первой машинисткой?

Решение. Событие А – взятая наудачу страница содержит ошибку. Можно сделать два предположения:

гипотеза Н₁ – взятая страница напечатана первой машинисткой;

гипотеза Н₂ – взятая страница напечатана втором машинисткой.

Так как первая машинистка печатает в два раза быстрее второй, то вероятность гипотез Р(Н₁) = 2/3; Р(Н₂) = 1/3, так как

Р(Н₁) = 2Р(Н₂) и Р(Н₁) + Р(Н₂) = 1.

По условию задачи Р_Н1(А) = 0,2; Р_Н2(А) = 0,3;

Вероятность того, что ошибка допущена первой машинисткой, находим по формуле Бейеса: