Методика применения планирования эксперимента
Методика применения математического планирования эксперимента для построения уравнения регрессии функции отклика включает несколько этапов.
Выбор фактора, который выступает в роли функции отклика.
Определение контролируемых факторов, интервалов варьирования, уровней, кодирование.
Определение необходимого количества параллельных опытов в одной серии.
Выбор плана эксперимента и построение матрицы планирования.
Проверка воспроизводимости опытов с помощью статистического критерия Кохрена.
Определение коэффициентов полинома для построения функции отклика.
Проверка значимости коэффициентов полинома с помощью статистического критерия Стьюдента.
Проверка адекватности функции отклика с помощью статистического критерия Фишера.
Переход от уравнения функции отклика в пространстве кодированных переменных к уравнению в натуральном пространстве переменных.
Сначала есть смысл проверить линейный вид модели функции отклика, используя полный или дробный факторный план. Если модель окажется неадекватной, то полином дополняется элементами, которые отвечают возможным вариантам взаимодействия факторов влияния, т.е. линейная модель дополняется до неполной квадратичной. После этого пункты 6-8 повторяются. И лишь когда возникнет потребность в полной квадратичной или кубической модели, нужно возвращаться к пункту 4, изменив план на композиционный.
Определение необходимого количества параллельных опытов
Совокупность методов определения необходимого количества параллельных опытов (повторений в одной точке плана) относят к тактическому планированию эксперимента. Поскольку точность оценок наблюдаемой переменной характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования эксперимента составляют так называемые методы снижения дисперсии.
Рассмотрим вариант вычисления необходимого количества параллельных опытов (прогонов имитационной модели) – k.
Если случайные значения эндогенной переменной не коррелированы, и их распределение не изменяется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным.
Количество прогонов k, необходимое для того, чтобы действительное среднее находилось в интервале y d с вероятностью (1–):
,
(1.30)
где Z ― значение нормированного центрированного нормального распределения, которое определяется по справочной таблице при заданном уровне значимости /2;
Sy ― дисперсия реализации;
d ― доверительный интервал.
Если необходимое значение Sy к началу эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из L прогонов и вычислить на ее основе выборочную дисперсию SL:
,
(1.31)
де yL ― выборочное среднее по результатам L прогонов.
Подставив SL в формулу (1.30), получают предварительную оценку числа прогонов k. Потом выполняют N – L прогонов, которые остались, периодически уточняя оценку числа прогонов k.
Проверка однородности дисперсий
Согласно требованиям регрессионного анализа корректная обработка и использование результатов экспериментальных исследований возможны лишь в том случае, когда дисперсии измерения функции отклика в каждой точке эксперимента одинаковы. Такое свойство называется однородностью дисперсий. Прежде чем находить по результатам исследований математическое описание функции отклика в заданных границах изменения факторов, необходимо убедиться в однородности дисперсий значений величины y. Поскольку теоретические значения дисперсий неизвестны, то наличие однородности дисперсий определяется по их статистическим оценкам
Если проверка однородности дисперсии дает отрицательный результат (гипотеза об однородности дисперсии отбрасывается), то полученный эмпирический материал не рекомендуется использовать для аппроксимации функции отклика полиномами. Следует повторить эксперименты, увеличив при этом число параллельных попыток k.