Методические указания для студентов (по первому заданию) Определение границ поля неопределенности, оценок среднего и ско
Существует два типа оценок: точечные (в виде одного значения или точки на числовой оси) и интервальные (в виде отрезка или интервала на числовой прямой).
Точечная оценка измерения производится по формуле среднего арифметического
,
оценка отклонения результата однократного
наблюдения по формуле несмещенной
оценки среднеквадратического отклонения
,
а оценка среднеквадратического отклонения
результата измерения по формуле
.
На их основе получают интервальные оценки:
доверительные
границы
,
интервалы
цензурирования
,
и т.д.
Для практического нахождения оценок целесообразно предварительно построить вариационный ряд – все значения ряда наблюдения в порядке возрастания. Целесообразно для вычисления по формулам среднего арифметического и среднеквадратического отклонения использовать либо инженерный калькулятор с режимом статистической обработки данных, либо калькулятор (вид – инженерный) Windows.
Пример ряда: 94; 98; 101; 96; 94; 93; 97; 95; 96 (n=9).
Его вариационный ряд: 93; 94; 94; 95; 96; 96; 97; 98; 101 (n=9).
В калькуляторе Windows в
режиме статистики (нажать кнопку Sta)
вводится набор исходных значений
(последовательно в основном поле
набирается число, с последующим вводом
кнопки Dat), после чего
в окне Статистика будет отображаться
весь введенный набор значений (столбиком)
и их количество (n=9). Нажатие
кнопки Ave покажет
оценку среднего значения набора (
96),
а нажатие кнопки s
среднее квадратичное отклонение или
СКО (
2.44948…).
При необходимости округляем результат
(до значащих цифр, в нашем случае до двух
цифр после запятой). Удаление всего
набора значений в окне Статистика
кнопкой CAD, отдельного
выделенного значения кнопкой CD.
Переключение между окнами калькулятора
– щелчком мыши на поле окна.
Обнаружение и устранение промахов при заданной гипотезе
Для ряда значений наблюдений: x1, x2, …, xn, содержащих случайные погрешности (подразумевается что этот исправленный ряд наблюдений свободен от систематических погрешностей) производят перестановку значений xi в порядке возрастания (или используют результаты предыдущей задачи), т.е. готовят вариационный ряд.
Полученные значения анализируем на попадание в интервал цензурирования , где t – коэффициент, зависящий от свойств закона распределения (выдвинутой гипотезы и заданного уровня доверительной вероятности) случайной погрешности. Все значения, не попавшие в интервал цензурирования, считаем грубыми погрешностями (промахами) и из рассмотрения исключаем, после чего опять вычисляем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения результата однократного наблюдения. Такой процесс повторяем до полного попадания значений вариационного ряда в интервал цензурирования (метод последовательных приближений). Критерием правильного выполнения процесса исключения промахов является уменьшение среднеквадратического отклонения результата однократного наблюдения. При этом в первую очередь, на основе доверительных границ случайной погрешности результата измерения, выдвигается и проверяется гипотеза о нормальном распределении. В дальнейшем, при необходимости, выдвигаются и проверяются и другие гипотезы.
Пример ряда: 94; 98; 101; 96; 94; 93; 97; 95; 96 (n=9).
Его вариационный ряд: 93; 94; 94; 95; 96; 96; 97; 98; 101 (n=9).
Оценки среднего и СКО равны: 96 и 2.45.
Интервал цензурирования для выдвинутой гипотезы о нормальном распределении и доверительной вероятности 0.95 (t=2), см. табл.2. равен [91.1;100.9]. Это означает, что значение 101 вариационного ряда в него не входит и возможно является промахом. Удалим его из вариационного ряда.
Скорректированный вариационный ряд: 93; 94; 94; 95; 96; 96; 97; 98 (n=8).
Его оценки среднего и СКО равны: 95.38 и 1.69.
Интервал цензурирования для выдвинутой гипотезы о нормальном распределении и доверительной вероятности 0.95 (t=2), см. табл. равен [92;98.76]. Все значения вариационного ряда попали в интервал цензурирования, что означает, что промахов больше не обнаружено.
Выдвигаемая гипотеза |
Рд=0.95 |
Рд=0.99 |
О нормальном распределении |
t=2 |
t=3 |
О равномерном распределении |
t=1.71 |
t=1.73 |