4). Соответствие рада остатков нормальному закону распределения проверим с помощью r/s-критерия:

R/S = (ε_max - ε_min ):S_v, (5.2.10)

где ε_max и ε_min - максимальный и минимальный уровни рада остатков соответственно;

S_v — среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение (5.2.10) попадает между табулированными границами (см. табл. IV) с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении рада остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Если все четыре пункта проверки 1-4 дают положительный результат, делается вывод о то, что выбранная трендовая модель является адекватной реальному раду экономической динамики. Только в этом случае ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае модель надо улучшать.

46 Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H₀:|ε|=0. С этой целью строится t-статистика

(5.2.6)

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков ε_t;

- среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки.

На уровне значимости λ гипотеза отклоняется, если , где t_α,ν - критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 - α) и v = n - 1 степенями свободы.

47. Для проверки условия случайности возникновении отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Существует определенная зависимость между средней арифметической , дисперсией ; количества поворотных точек р и числом членов исходного ряда наблюдений n. В случайной выборке средняя арифметическая (математическое ожидание) числа поворотных точек равна , а их дисперсия вычисляется по формуле . Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как

(5.2.7)

где р — фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 — квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости;

квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть (не путать с процедурой округления!).

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и, стало быть, модель не является адекватной.

48 Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина—Уотсона. С этой целью строится статистика Дарбина— Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит расчетная формула

(5.2.8)

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2, а при полной автокорреляции - 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для трех уровней значимости (а = 0,01, а = 0,025 и а = 0,05) даны в специальных таблицах (см. табл. II). При сравнении расчетного значения d-статистики (5.2.8) с табличным могут возникнуть такие ситуации: d₂ < d < 1 — ряд остатков не коррелирован; d < d₁ — остатки содержат автокорреляцию; d₁ < d < d₂ — область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d' = 4 - d.

Установив наличие автокорреляции остатков, надо улучшать модель. Если же ситуация оказалась неопределенной, применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

(5.2.9)

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции (5.2.9) сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-го или 1%-го уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней рада) (см. табл. III). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

49 Соответствие рада остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S-критерия:

R/S = (ε_max - ε_min ):S_v, (5.2.10)

где ε_max и ε_min - максимальный и минимальный уровни рада остатков соответственно;

S_v — среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение (5.2.10) попадает между табулированными границами (см. табл. IV) с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении рада остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

50 Оценка точности модели имеет смысл только для адекватных моделей. В случае временных радов точность модели определяется как разность меду фактическим и расчетным значениями. В качестве статистических показателей точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда —

(5.2.11)

где m — число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации -

(5.2.12)

Если ошибка, вычисленная по формуле (5.2.12), не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. В общем случае допустимый уровень точности, а значит и надежности устанавливает пользователь модели, который в результате содержательного анализа проблемы выясняет, насколько она чувствительна к точности решения и насколько велики потери из-за неточного решения.

51 Построение точечного и интервального прогнозов. Если в ходе проверки разрабатываемая модель признана достаточно надежной, на ее основе разрабатывается точечный прогноз (5.2.1). Он получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n + k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста (5.2.2) - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

(5.2.13)

Для учета случайных колебаний при прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы, зависящие от стандартной ошибки (5.2.11), горизонта прогнозирования k, длины временного ряда n и уровня значимости прогноза а. В частности, для прогноза (5.2.13) будущие значения Y_n+k c вероятностью (1 - а) попадут в интервал

(5.2.14)

52 Фу́нкция поле́зности — экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Функция полезности

53 Свойства функции полезности:

1)     функция существует;

2)     проходит через ноль, т.е. U_i = 0  при х_i = 0;

3)     непрерывна;

4)     дифференцируема;

5)     возрастает на всей области определения, т.е. ;

6)     выпукла, т.е. предельная полезность убывает,  .

54 Кривая безразличия — кривая, изображающая все комбинации из двух благ, имеющих для экономического субъекта одинаковую полезность и по отношению к выбору которых он безразличен. Понятие кривой безразличия восходит к Фрэнсису Эджворту и Вильфредо Парето.

Свойства кривых безразличия

• Кривые безразличия не могут пересекаться.

• Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, отражает большую величину полезности, чем предыдущая.

• Кривые безразличия имеют отрицательный наклон.

• Предельная норма замещения MRS одного блага другим уменьшается при движении вдоль кривой безразличия.

55 Оптимизационная модель задачи потребительского выбора.

Задача потребительского выбора имеет вид:

U(X) =>max (13.1)

(PX) ≤ K (13.2)

X_i ≥0

где: X={x₁,x₂,…,x_n} – вектор набора товаров;

х_i – количество товара вида i;

P={p₁,p₂,…,p_n} – вектор цен на товары;

К – доход потребителя.

56 Набор (х, х), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя.

Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать следующими свойствами:

1). Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя.

2). Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя.

3). Решение задачи потребительского выбора всегда находится на границе бюджетного множества (бюджетной линии).

57. Геометрическая интерпретация задачи потребительского выбора.

58 Функция спроса - функция, определяющая спрос в зависимости от влияющих на него различных факторов.

60 ВЗАИМОДОПОЛНЯЕМОСТЬ БЛАГ – свойство благ (товаров или услуг) удовлетворять потребности (личные или производственные) лишь в комплексе друг с другом.

ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ БЛАГ – свойство благ (товаров или услуг) удовлетворять потребности (личные или производственные) за счет друг друга.

61 Уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары.

62 КРИВАЯ "ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ" - кривая, каждая точка которой - оптимальное количество потребляемых благ при разном уровне дохода (но постоянном соот­ношении цен).

КРИВАЯ ЭНГЕЛЯ - кривая, показывающая зависимость изменения величины потребления товара от измене­ния дохода потребителя. В зависимости от реакции потребителя на изменение дохода при покупке товара различают три категории товаров: ценные, малоценные и обычные.

ТОРНКВИСТА ФУНКЦИИ — см. Насыщение спроса.

НАСЫЩЕНИЕ СПРОСА – категория, отражающая характерное для многих товаров и услуг на определенном уровне их потребления существенное сокращение или даже прекращение спроса на них (при данном уровне доходов и цен).

63 Коэффициент Эластичности - коэффициент, характеризующий относительное изменение одного признака при единичном относительном изменении другого.

Коэффициент эластичности спроса по цене (прямая эластичность спроса) показывает, на сколько изменится объем спроса (DQ_D) при изменении цены (DP) на 1%

.

Коэффициент E_P(D) всегда отрицательный, т.к. по закону спроса P и Q изменяются в противоположном направлении.

64 Коэффициент эластичности спроса по доходу показывает, на сколько изменится объем спроса (DQ_D) при изменении доходов потребителей (DI) на 1 %

.

В зависимости от связи между Q_D и I (прямая и обратная) коэффициент E_I(D) может быть положительным и отрицательным.

65 Коэффициент Эластичности Перекрестный - коэффициент, определяющий, на сколько процентов изменится спрос на исследуемый товар при изменении цены на другой товар на один процент при прочих равных условиях.

Если он меньше нуля, товары взаимно дополняют друг друга, если больше нуля, то они взаимозаменяемы, в случае равенства нулю товары независимы друг от друга.

Коэффициент перекрестной эластичности спроса показывает, насколько изменится объем спроса на товар А (Q_DA) при изменении цены другого товара (P_B)

.

Знак коэффициента E_PB (D_A) зависит от связи между товарами

66 Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из  данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х₀ обозначается одним из символов: ƒ'(х₀), у'|_x=xo или у'(х₀). Производственная функция (функция производства) представляет уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов, факторов производства) с величиной выпуска продукции (в дальнейшем просто «выпуска»). Понятия выпуска и факторов производства конкретизируются в зависимости от характера и масштаба рассматриваемой производственной единицы, цели исследования, доступной информации. Например, выпуск может измеряться в натуральных или стоимостных показателях, в реальных или потенциальных величинах. А ресурсы могут рассматриваться либо фактически затраченные, либо имеющиеся в распоряжении на начало периода производства. Число факторов в производственной функции не обязательно ограничивается заранее, однако требуется их сопоставимость по характеру воздействия на выпуск и уровню агрегирования.

68. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ [macroeconomic production function] — агрегатная производственная функция, характеризующая зависимость показателя совокупного общественного продукта страны или иного обобщающего показателя (ВНП, НД и др.) от основных факторов производства (обычно — объема капитала и рабочей силы, реже — в дополнение к ним еще и площади земли). В ряде М. п. ф. в качестве отдельного фактора учитывается также воздействие научно-технического прогресса. М. п. ф. исследуются самостоятельно (см. Кобба—Дугласа функция) или включаются в сложные эконометрические модели (см. Уортонская модель).

70 Изокванта – это график изображения двухфакторной производственной функции. Она показывает комбинации двух переменных факторов, обеспечивающих один и тот же выпуск продукции.

Изокванта представляет собой кривую, на которой расположены все сочетания факторов производства, использование которых обеспечивает один и тот же объем выпуска продукции.

Часто рассматриваются модели однофакторной производственной функции Q = f (L) , где L – размер единственного фактора производства – труда, или двухфакторной производственной функции Q = f (L,K ) , где L и K– размеры труда и капитала.