Объемное напряженное состояние

Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.3.4).

Рассмотрим вопрос определения касательных напряжений в площадках, проходящих через одну из координатных осей x, y или z (рис.3.1).

Используя принцип независимости действия сил и результаты решения прямой задачи для линейного и плоского напряженных состояний, получим:

;   ;

;

При  = 45⁰, касательные напряжения достигают наибольших значений:

;     ;    ,

c учетом того, что , получим:

Таким образом, площадка с наибольшим касательным напряжением наклонена под углом α=45⁰ к главным площадкам с напряжениями .

Также можно доказать, что

.

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного, и как частый случай, плоского напряженных состояний.

Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.

Пусть задано произвольное объемное напряженное состояние с главными напряжениями , и . Представим его в виде суммы трех линейных напряженных состояний. Учитывая, что при линейном напряженном состоянии  и  запишем выражение для линейной относительной деформации в направлении :

      Деформации в направлении действия главных напряжений равны

       ,

,

.

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок. Деформации ₁, ₂, ₃, в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны для любых (не главных) площадок, но т.к. при этом будут действовать, кроме нормальных и касательные напряжения (рис.3.10), то необходимо добавить три соотношения для вычисления угловых деформаций. Таким образом, для произвольных площадок обобщенный закон Гука содержит 6 соотношений, связывающих деформации и напряжения:

,

,

,

;      ;      .

Относительное изменение объема

Как известно, при деформации происходит изменение формы и объема тела. Рассмотрим относительное изменение объема тела при деформировании. Обратимся к рис.3.2. Объем элементарного прямоугольного параллелепипеда до деформации . При деформировании длина каждого ребра может измениться на некоторую величину  и объем того же параллелепипеда после деформирования будет .

Тогда относительное изменение объема может быть вычислено следующим образом:

.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с  ( ≈ 0, ≈ 0), получим

.

Подставляя  из обобщенного закона Гука, получим

.

Учитывая, что  запишем выражение для  в виде

.

Из формулы видно, что при положительных направлениях главных напряжений относительное изменение объема может быть положительной величиной если только коэффициент Пуассона будет ν < 0,5. Таким образом, получается, что для всех существующих в природе материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах  и для большинства конструкционных материалов он равен ν = 0,2…0,3.

Также можно отметить, что если коэффициент Пуассона равен  = 0,5, то относительное изменение объема равно нулю. Резина имеет  ≈ 0,5 , следовательно, при приложении нагрузки её объём практически не меняется, она ведет себя как несжимаемая жидкость. Это свойство резины часто используется в экспериментальной практике.

Определим также относительное изменение объема при чистом сдвиге.

Так как при чистом сдвиге ,  ,  , то

Таким образом, относительное изменение объема при чистом сдвиге равно нулю.