Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженного состояния тела.

Р ассмотрим две взаимно-перпендикулярные площадки с касательными напряжениями  и . Согласно закону парности касательных напряжений знаки  и  противоположны. Поэтому, если площадку с напряжением  поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением , то обязательно найдется такое положение площадки, когда .

Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения - главными напряжениями.

Главные напряжения обозначаются , причем . Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис.3.5. В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.

Линейное напряженное состояние.

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления  до нормали к площадке . Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали , ось у – перпендикулярно ей

Для определения напряжений  _x и  _ху  рассмотрим рис.3.7.

Получим:

где  - площадь наклонной площадки,

- площадь поперечного сечения,

- полное напряжение, действующее по наклонной площадке.

Учитывая, что , получим:

.

Раскладывая p_ на направление оси х и оси у, получим

,

Рассмотрим площадку  перпендикулярную площадке , угол

. Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны

.

Складывая _х и _у , получим

_x + _y = ₁ = const,

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке 

,

т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.

Нормальные напряжения _x по наклонной площадке  достигают максимального значения  при  = 0, т.е. в поперечном сечении.

Касательные напряжения τ_xy по наклонной площадке  достигают максимального значения  при  =  45⁰.

Плоское напряженное состояние

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.

Прямая задача.

О пределим напряжения _x и _xy, действующие по любой наклонной площадке  по известным главным напряжениям  и , т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил.

Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений ₁, второе – при действии только напряжений ₂  (рис.3.9)

От каждого из напряжений ₁, ₂ напряжения _x1, _x2 и _xy1,_xy2 в произвольной площадке равны

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

                                                                                                                                                            (3.16)

Если рассмотреть площадку с углом наклона , перпендикулярную к площадке , то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

                                                                                                                                                                                                                               (3.17)

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

.

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом  = 45^о

.