Основы теории напряжённого и деформированного состояний

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

На примере растяжения и сжатия мы выяснили, что напряжения на площадке, проходящей через выбранную для исследования точку, зависят от ориентации этой площадки:

σ_α = σ cos²α;

τ_α = 0,5σ sin2α,

где σ – напряжение в поперечном сечении стержня.

Такой вид нагружения вызывает во всех точках стержня однородное (одинаковое) напряженное состояние. В общем случае напряженное состояние будет различным в разных точках тела, и для оценки прочности конструкции необходимо знать напряжения на всех площадках, проходящих через опасную, т.е. наиболее нагруженную точку. Чтобы исследовать в выбранной точке К напряженное состояние, вырежем в ее окрестности элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. В виду малости параллелепипеда, можно считать напряжения во всех его точках, включая точку К, одинаковыми. Иными словами, напряжения на гранях выделенного элемента распределены равномерно и равны напряжениям в точке К на взаимно перпендикулярных площадках.

Н

Рис.14.1

а каждой из граней элемента полное напряжение можно разложить на три составляющие – одну нормальную и две касательные.

σ_x¸ σ_y¸ σ_z - нормальные,

τ_xy¸ τ_yx¸ τ_yz¸ τ_zy¸ τ_xz¸ τ_zx –касательные напряжения. Эти напряжения называют компонентами или составляющими напряженного состояния в точке тела.

Нормальные напряжения имеют индекс, показывающий их направление – нормаль к площадке, где они действуют. Первый индекс касательных напряжений указывает нормаль к площадке, второй – направление напряжения. Нормальные напряжения считаются положительными, если они растягивают элемент, т.е. направлены в сторону внешней нормали к его граням. Касательные напряжения положительны, если на площадках, внешние нормали к которым совпадают с направлением осей, они направлены в сторону соответствующей оси. На рисунке показаны положительные направления компонентов напряженного состояния. Напряжения на невидимых гранях параллелепипеда направлены в противоположную сторону.

Система сил, приложенная к выделенному из тела элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях силы равны по величине и направлены в противоположные стороны, суммы проекций всех сил на оси координат тождественно равны нулю. Из равенств нулю сумм моментов относительно координатных осей, следуют попарные равенства:

τ_xy =  τ_yx ; τ_yz = τ_zy ; τ_xz  = τ_zx ,

которые составляют уже упоминавшийся ранее закон парности касательных напряжений: составляющие касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны и направлены одновременно либо к ребру, либо от него. Из девяти компонентов напряженного состояния в точке тела независимыми оказываются только шесть. Если объединить составляющие напряжений в матрицу вида:

Т_σ = ,

то она окажется симметричной относительно главной диагонали. Величину Т_σ называют тензором напряжений, а элементы матрицы соответственно компонентами тензора напряжений. Понятие тензора математически является более общим, чем понятие скаляра или вектора. Несмотря на то, что тензор можно изобразить в виде матрицы, он не эквивалентен ей, поскольку при выборе другой системы координат все элементы матрицы изменятся, а напряженное состояние в точке и, следовательно, тензор напряжений, останутся теми же.