5. Інтнгрування частинами.

Виведемо формулу інтегрування частинами. Відомо що:

або

Інтегруючи ліву та праву частини, отримаємо

або

Як бачимо, знаходження зводиться до знаходження , який повинен виявитись більш простим або табличним ін-

тегралом.

При використанні методу інтегрування частинами підінтегральну функцію представляють у вигляді добутку двох множників u та dv, і знаходять du та v. Якщо одержаний інтеграл виявився складним, то можна спробувати поміняти значення u та dv. Для зручності вирази u,dv,du,v оформлюють у вигляді таблиці.

Метод інтегрування частинами часто застосовують при інтег-руванні функцій, що містять добуток, логарифми і обернені тригонометричні функції.

u=x	du=dx
	v=

Розв’язання:

u=x	du=dx
	v=

Розв’язання:

	v=

6. Інтеграли від функцій, що містять квадратний тричлен.

Для відшукання вказаних інтегралів квадратний тричлен пе-ретворюють квадратний двочлен, виділяючи повний квадрат

Таке представлення підінтегрального виразу дозволяє звести шукані інтеграли до табличних або до інтегралів виду

Наведемо приклади.

Розв’язання: Виділимо з квадратного тричлена повний квадрат

тоді інтеграл набуде вигляду

Введемо змінну: x+2=t, dx=dt, одержимо

Розв’язання: Виділимо з квадратного тричлену повний квадрат

Перший з отриманих інтегралів, , табличний

Повернемось до змінної x і запишемо результат

Розв’язання: Виділимо повний квадрат з квадратного тричлена

і введемо заміну x-2=t, dx=dt ; одержимо

Розв’язання: Виділимо з квадратного тричлена повний квадрат

і введемо заміну Тоді

Перший інтеграл , знаходимо ввівши заміну

Другий інтеграл є табличним

Підставимо знайдені інтеграли та вернемось до змінної x; одержимо

Розв’язання: Виділяємо повний квадрат в підкореневому виразі

тепер використовуючи уже відомі формули інтегрування, та поклавши обчислюємо:

Розв’язування: Виділяємо повний квадрат в підкореневому виразі

тепер використовуючи уже відомі формули інтегрування, та пок-лавши обчислюємо

7. Інтегрування раціональних функцій.

Ціла раціональна функція – це многочлен, який інтегрується безпосередньо:

P(x), Q(x) – многочлен, можна виразити через елементарні функції шляхом розкладу на доданки, якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника. Такий раціональний дріб називають пра-вильним, в інших випадках – неправильним дробом. Неправильний раціональний дріб завжди можна перетворити в правильний, поділивши чисельник на знаменник.

Правильний раціональний дріб можна розкласти на доданки наступних двох видів:

де m,n – цілі додатні числа.

данки треба:

1. Розкласти знаменник Q(x) на найпростіші дійсні множ-ники, тобто записати у виді

2. Записати схему розкладу дробу на елементарні доданки

де A₁ , A₂ ,..., A_m , B₁ , B₂ , ..., B_k , M₁ ,..., M_n , N₁ ,..., N_n , C₁ ,..., C_r ,

D₁ ,..., D_r – невідомі постійні. Доданків з відповідними знаменни-ками є стільки, який степінь кожного множника в розкладі Q(x).

3. Звільнитись від знаменників, домноживши обидві частини на Q(x).

4. Скласти систему рівнянь відносно невідомих

A₁ , A₂ ,..., A_m , B₁ , B₂ , ..., B_k , M₁ ,..., M_n , N₁ ,..., N_n , C₁ ,..., C_r , D₁ ,..., D_r , порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x в обох частинах.

5. Розв’язати систему рівнянь і підставити знайдені значення

A₁ , A₂ ,..., A_m , B₁ , B₂ , ..., B_k , M₁ ,..., M_n , N₁ ,..., N_n , C₁ ,..., C_r , D₁ ,..., D_r в схему розкладу.

6. Одержані в розкладі дроби приводяться до інтегралів типу

Інтеграл I₃ знаходять по правилах розглянутих в параграфі 6

Розв’язання: Виконаємо дії згідно приведеної схеми:

1) розкладемо знаменник на найпростіші дійсні множники:

2) запишемо схему розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки

3) звільнимось від знаменнків, помноживши обидві частини на x(x+2)² ;

;

4) складемо систему рівнянь для визначення невідомих по-рівнявши коефіцієнти при однакових степенях x:

5) розв’яжемо одержану систему:

6) запишемо розклад підінтегральної функції на елементарні до-данки та про інтегруємо

Розв’язання:

1) Розкладемо знаменник на найпростіші дійсні множники:

2) запишемо схему розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки:

3) звільнимось від знаменників помноживши обидві частини на ;

4) складемо систему рівнянь для визначення невідомих прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях x:

5) розв’яжемо одержану систему:

6) запишемо розклад підінтегральної функції на елементарні до-данки та проінтегруємо:

Інтеграл I запишемо у вигляді:

Тоді

Отже