15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.

Если векторы f (x + h), f (x), L(x)h, α(a; h) из R^m записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным m равенствам fi(x + h) — fi(x) = Li(x)h + αi(x; h), i = l,m (1.3) между действительными функциями, в которых L_i(x) : Rⁿ → R— линейные функции, а α _i(x; h) = o(h) при h → 0, x + h €X, i = l,m. Таким образом, справедлива

Теорема 1. Отображение f : X — R^m, X € Rⁿ дифференцируемо в точке x € X, предельной для множества X, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции f_i : X → R, i = 1,m, задающие координатное представление данного отображения.

Поскольку соотношения f (x + h) — f (x) = L(x) h + α(x; h) и (1.3) равносильны, то для отыскания дифференциала L(x)h отображения f : X — R^mдостаточно научиться находить дифференциалы Li(x)h его координатных функций fi : X → R.

Итак, рассмотрим действительную функцию f : X — К, определенную на множестве X € Rⁿ и дифференцируемую во внутренней точке x € X этого множества. В дальнейшем нам большей частью придется иметь дело со случаем, когда X будет областью в Rⁿ. Если x есть внутренняя точка множества X, то при любом достаточно малом смещении h от точки x, точка x + h также будет принадлежать X, и, следовательно, будет находиться в области определения функции f : X → R^.

Если перейти к координатной записи точки x = (x₁,..., x_u), вектора h = (h₁,..., h_u) и линейной функции L(x)h = a₁(x)h₁ + . .. + a_n(x)h_n, то условие f (x + h) — f (x) = L(x)h + o(h), при h → 0 перепишется в виде

f (x₁ + h₁,...,x_n + h_n) — f (x₁, ...,x_n) = a₁(x)h₁ + ... + a_n(x)h_n + o(h), при h → 0,(1.4) где a₁(x),..., a,_n(x) - связанные с точкой x числа. Найдем эти числа. Для этого вместо произвольного смещения h рассмотрим специальное смещение

h = h_ie_i = 0 • e₁ + . .. +0 • e_i-1 + hi • ei +0 • e_i+1 + .. . + 0 • e_n на вектор h_i, коллинеарный вектору e_i базиса {e₁,... ,e_u} в Rⁿ. Тогда \\h\\ = \h_i\ и следовательно (1.4) перепишется в виде

f (x₁,. . .,x_i-1, X_i + h_i,X_i+1, ...,X_n) — f (x₁, ...,X_i,...,X_n) = a_i(x)h_i + o(h_i), при h_i → 0 (1.5) Это равенство означает, что если фиксировать в функции f (x₁,... ,x_i,...,x_u) все переменные, кроме i-й переменной, то получаемая при этом функция i-й переменной оказывается дифференцируемой в точке x_i. Из равенства (1.5), таким образом, находим, что

a_i(x) = (1.6)

Определение 3. Предел (1.6) называется частной производной функции f (x) в точке x = (x₁,..., X_n) по переменной x_i. Его обозначают одним из следующих символов

Утверждение 1. Если функция f : X → R, X С Rⁿ дифференцируема во внутренней точке x €X этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде

16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.

В силу установленной эквивалентности соотношений (1) и (1.3) и утверждения 1, для любого отображения f : X — R^m, X С Rⁿ, дифференцируемого во внутренней точке x € X этого множества, можно выписать координатное представление дифференциала df(x) в виде .(1.9)

Определение 4. Матрица .

называется матрицей Якоби отображения f : X — R^m, X С Rⁿ в точке x. Если m = n > 1, то det f^/(x) называется якобианом отображения f в точке x:

Из эквивалентности соотношений (1.2) и (1.3) и однозначности дифференциала функции многих переменных следует:

Утверждение 2. Если отображение f : X — R^m, X С Rⁿ дифференцируемо во внутренней точке x € X, то оно в этой точке имеет единственный дифференциал, координатное представление которого задается соотношением (1.9).

17.Свойства дифференцируемых отображений. Теорема 2. Если отображения f : X → R^m, g : X → R^m, X С Rⁿ дифференцируемы в точке x € X, то их линейная комбинация (λf + μg) : X →R^m также является дифференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место равенство

(λf + μg)'(x) = (λf' + μg' )(x). Доказательство.( λf + μg)(x + h) — (λf + μg)(x) = (λf (x + h)+ μg(x + h)) — (λf (x) + μg(x)) = λ(f (x + h) — f (x) )+ μ (g(x + h) — g(x)) = λ(f '(x)h + o(h)) + μ (g'(x)h + o(h) = (λf '(x) + μg'(x)) h + o(h).□

Теорема 3. Если функции f : X → R, g : X →R, X С Rⁿ дифференцируемы в точке x € X, то:1)их произведение дифференцируемо в точке x, причем (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f (x)g'(x); 2) их частное дифференцируемо в точке x, если g(x) ≠ 0, причем

Доказательство теоремы аналогично случаю функции одной переменной. Теорема 4. Если отображение f : X →Y, X С Rⁿ, Y С R^m дифференцируемо в точке x € X, а отображение g : Y → R^s дифференцируемо в точке y = f (x), то их композиция = g о f : X → R^s дифференцируема в точке x и имеет место равенство '(x) = g'(y) f'(x).