- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
5. Неравенство Коши.
Лемма 1: Для любых действительных чисел аi и bi i=1,…,n выполняется неравенство:
Следствие 1: .
6. Метрическое пространство .
Обозначим через Rn множество всех упорядоченных наборов (x1, Х2,..., xn), xk € R, k = 1,…, п. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой x = (x1, Х2,..., xn) и называть точкой множества Rn. Число xk, k=1,…,п называется k-той координатой точки x = (x1, Х2,..., xn).
Определение 1. Множество X называется метрическим пространством, если существует функция р : X × X → R, удовлетворяющая следующим условиям:
1) p(x,y)>= 0, причем p(x,y) =0 ↔ x = y;
2) p(x,y) = p(y,x);
3) p(x,z) <=p(x,y)+p(y,z) (неравенство треугольникa), где x,y,z произвольные элементы множества X.
Число p(x,y) называется расстоянием между точками x и y или метрикой пространства X. На множестве Rn определим расстояние между его двумя точками x = (x1, Х2,..., xn) и y = (y1, y2,... ,yn) по формуле .(1)
Функция p : Rn × Rn → R, определяемая формулой (1), очевидно удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 1. Покажем, что она удовлетворяет и условию 3). Действительно, полагая в ai = xi — yi, bi = yi — zi, получим условие 3) определения 1.
Таким образом, если на множестве Rn ввести расстояние по формуле (1), то оно превратится в метрическое пространство Rn.
Непосредственно из (1 ) следуют двойные неравенства
|xi — yi| < =p(x,y) <= max |xk — yk|, i = 1,…,n.(1<=k<=n).
7.Евклидово пространство .
как векторное пространство.
Если в Rn ввести операции сложения двух элементов x = (x1 , x2, . . . , xn), y = (y1 , y2, . . . , yn) и умножения элемента x = (x1 , x2, . . .,xn)на действительное число A соответственно по формулам:
x + y = (x1 + y1,X2 + y2,...,xn+ yn),
Ax = (Ax1 ,Ax2, . . . ,A xn),
то Rn станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел.
Векторы ek = (0,..., 0,1, 0,..., 0), k = 1,n (1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rn. Любой вектор x € Rn можно разложить по базисным векторам ek, k =1,n в виде
x = x1e1 + x2e2 + .. . + enxn.
Норма в .
Опр1: Пусть Определение 1. Пусть X — векторное пространство. Функция || • || : X → R, удовлетворяющая условиям
\\x\\ > 0, причем \\x\\ =0 ↔ x = 0,
\\Ax\\ = \A\.\\x\\,
\\x + y\\ <= \\x\\ + \\y\\ (неравенство треугольника),
x,y € X, A € R, называется нормой в X. Число \\x\\ — норма вектора x.Векторное пространство X с введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rn определим норму по формуле ||x||= , где x = (x1, x2,..., xn)€ . ||x-y||=p(x,y), ||x||=p(x, 0), где p(x,y) расстояние между векторами x,y, которые рассматриваются как точки метрического пространства .
Евклидова структура в . Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция φ: X × X → R, φ(x, y) = (x,y), x,y €X и удовлетворяющая условиям:
(x, x)>=0, (x,x) = 0 ↔ x = 0,
(x, y) = (y, x),
(ax,y) = a(x,y),
(x + y,z) = (x, z) + (y, z), x, y,z € X, a € R.
В векторном пространстве Rn скалярное произведение векторов x = (x1 , x2, . . . , xn), y = (y1 , y2, . . . , yn) находится по формуле
(x, y) = x1 y1 + . . . + xnyn..
Векторное пространство Rn с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым пространством.
Число = называется длинной (модулем) вектора x = (x1 , x2, . . . , xn) € Rn и обозначается |x|: |x| = Из вышесказанного имеем, что |x|= ||x||. И следует, что p(x,y) = ||x – y|| = |x – y|.
В дальнейшем, на Rn будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место p(x,y) = ||x – y|| = |x – y|.