- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
11. Метод найменших квадратів
Часто при розв'язку практичних задач функціональна залежність між змінними задається у вигляді таблиці:
xi |
x1 |
x2 |
... |
xn |
yi |
y1 |
y2 |
... |
yn |
Для аналізу отриманого розв'язку зручно підібрати функцію, яка відповідала б таблиці експериментальних даних і якою можна було б скористатися для одержання значень функції.
Зобразивши точки на координатній площині, можна зробити висновок про вигляд функції .
Так, якщо точки таблиці групуються біля деякої прямої, цю функцію можна шукати у вигляді лінійної функції .
Якщо ж точки розташовуються біля деякої параболи, то природно шукати функцію у вигляді квадратичної функції і т.д.
Якщо є вигляд функції, то залишається підібрати такі її коефіцієнти, при яких функція найкраще відповідала б таблиці.
Підбор значень коефіцієнтів здійснюється методом найменших квадратів, що полягає в наступному: складають суму квадратів різниць значень функції в точках і табличних значень , а потім підбирають коефіцієнти функції так, щоб ця сума була найменшою.
Нехай, наприклад, функція – лінійна, тобто . Тоді .
Ця функція з двома змінними і набуває мінімуму в точках, для яких і , тобто
Перепишемо систему у вигляді
(4.14)
Система (4.14) є системою лінійних рівнянь відносно і . Неважко переконатися, що система має єдиний розв'язок і що при знайдених значеннях і сума має мінімум.
Приклад 4.9. Досліджуючи залежність врожайності від кількості внесених добрив (y – врожайність у ц/га, x – кількість добрив у ц/га) одержали такі дослідні дані:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
16 |
18 |
21 |
24 |
25 |
Рис. 4.6.
Як бачимо з рисунка, на проміжку залежність від буде досить точно відображатися лінійною функцією . Знайдемо параметри , за методом найменших квадратів.
Складемо для нашої задачі і розв’яжемо систему (4.14). Для цього скористаємося розрахунковою таблицею:
xi |
yi |
|
xiyi |
0 |
16 |
0 |
0 |
1 |
18 |
1 |
18 |
2 |
21 |
4 |
42 |
3 |
24 |
9 |
72 |
4 |
25 |
16 |
100 |
Знаходимо , , , .
Система (4.14) набуває вигляду
або
Розв’язуючи систему, знайдемо, що ; . Отже, залежність врожайності від кількості внесених добрив на 1 га найкраще відображає лінійна функція вигляду .
Нехай тепер є квадратичною функцією. Знайдемо значення коефіцієнтів , , , при яких функція найкраще (за методом найменших квадратів) відображає залежність між і , представлену таблично.
У цьому випадку сума квадратів відхилень значень функції: є функцією трьох змінних , , .
Функція досягає мінімуму в точках, для яких , , . Оскільки
, ,
,
то система рівнянь для визначення коефіцієнтів набуває вигляду:
Перепишемо систему інакше:
(4.15)
Із системи (4.15) коефіцієнти , , визначаються однозначно.