- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
11) Теорема про середнє значення інтегралу.
Якщо функція неперервна на відрізку , то в середині відрізка знайдеться така точка , що або
. (5.29)
На підставі властивості 10 , звідки . Нехай , тоді одержуємо . За властивістю функцій, неперервних на відрізку знайдеться така точка в середині відрізка , що .
Отже, .
Рис. 5.2.
Якщо функція неперервна на відрізку , то всередині відрізка можна вказати таку точку , що площа криволінійної трапеції буде дорівнювати площі прямокутника з тією ж основою і висотою (рис. 5.2).
9. Формула Ньютона–Лейбніца
Нехай дано неперервну функцію , яку будемо інтегрувати. Нижню границю інтегрування будемо вважати зафіксованою, а верхню границю будемо вважати довільною, змінною. Тоді результат інтегрування буде залежати від і його позначимо . Виходячи з геометричного змісту інтеграла – площа трапеції, в якої права бічна сторона не зафіксована, переміщується уздовж вісі (рис. 5.3). Можна записати, що .
Щоб не плутати змінну інтегрування з верхньою межею, далі будемо записувати у вигляді , що справедливо на підставі властивості 1 визначеного інтеграла.
Доведемо, що функція є первісною для підінтегральної функції , тобто : похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею за верхньою межею дорівнює значенню підінтегральної функції у верхній межі інтегрування.
Рис.
5.3.
Бачимо, що неперервна функція завжди має первісну, щоб її одержати, треба знати визначений інтеграл від заданої функції при фіксованій нижній межі і розглянути його як функцію від верхньої межі. Отже, справедлива рівність, що характеризує зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів:
, (5.30)
де – довільна стала.
Отже, функція, неперервна на відрізку має на цьому відрізку первісні, причому однією з них є функція .
Нехай – будь-яка первісна для функції на тому ж відрізку . Оскільки первісні і відрізняються сталим доданком, то справедлива рівність
, (5.31)
де – довільна стала.
Підставляючи в (5.31) значення , одержуємо або . Звідки . Таким чином для всіх відрізка маємо:
.
Підставляючи замість значення , одержуємо:
. (5.32)
Формула (5.32) називається формулою Ньютона–Лейбніца. Різницю прийнято умовно записувати у вигляді: , тому, при обчисленні визначеного інтеграла запис оформлюють так:
.
На підставі формули Ньютона–Лейбніца можна стверджувати, що визначений інтеграл дорівнює приросту первісної на відрізку. Це твердження часто зустрічається як означення визначеного інтеграла.
Зазначимо, що при обчисленні визначеного інтеграла за формулою Ньютона–Лейбніца можна брати будь-яку первісну, тому що
.
Приклад 5.29. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Оскільки однією з первісних функцій є функція , то
.