- •Дифференциальные уравнения
- •1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •2. Основные понятия дифференциальных уравнений
- •3. Дифференциальные уравнения I порядка
- •Геометрический смысл общего и частного решений
- •4. Задача Коши
- •5. Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка
- •5.1 Уравнения с разделяющимися переменными
- •5.2 Однородное уравнение
- •(Общий вид),
- •5.3 Линейное уравнение первого порядка
- •5.4. Метод Бернулли
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Понятие общего решения
- •Понятие частного решения уравнения
- •7. Уравнения, допускающие понижения порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9. Свойства решений линейного однородного уравнения Левую часть уравнений
- •10. Линейные зависимые и линейные независимые системы функций
- •11. Определитель Вронского и его свойства
- •Свойства определителя Вронского
- •12. Фундаментальная система решений
- •13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
- •14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •15. Нахождение решения линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных
- •16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .
- •16.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
11. Определитель Вронского и его свойства
Пусть дана система функций , определенных в интервале и имеющих в нем все производные до порядка включительно.
Запишем определитель:
.
Определение. Этот определитель называется определителем Вронского данной системы функций (вронскиан).
Очевидно, что вронскиан – это функция от х, т.е. .
Пример. Дано . Составить определитель Вронского.
Решение.
.
Прежде чем говорить о свойствах вронскиана, докажем теорему.
Теорема. Если система функций является линейно зависимой на промежутке , то одну из функций этой системы всегда можно представить линейной комбинацией остальных функций, т.е.
.
Доказательство. Пусть система функций является линейно зависимой, тогда для любого выполняется равенство:
,
где не все .
Пусть , тогда поделив все равенство на , найдем :
.
Мы видим, что линейно выражается через все остальные.
Теорема доказана.
Свойства определителя Вронского
Теорема 1 (без доказательства). Если система функций, являющихся линейно зависимыми на промежутке , то определитель Вронского этой системы равен 0 для любого .
Теорема 2 (без доказательства). Если система п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
, |
(1) |
то определитель Вронского этой системы не обращается в нуль ни в одной точке интервала .
Теорема 3 (без доказательства). Если система частных решений однородного уравнения (1), то определитель Вронского этой системы либо равен нулю для любого , либо не равен нулю ни в одной точке из интервала .
12. Фундаментальная система решений
Определение. Любая совокупность п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
, |
(1) |
называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Замечание. Пусть имеем систему из двух функций и . Эта система будет линейно зависимой, если отношение , и линейно независимой, если функция.
13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
Теорема. Если есть фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
, |
(1) |
то его общее решение имеет вид:
,
где произвольные постоянные.
Доказательство. Проведем его для линейного однородного уравнения третьего порядка:
-
.
(*)
Пусть фундаментальная система решений этого уравнения. Требуется доказать, что функция общее решение уравнения (*). По теореме 3 (п.9 свойства решения однородного уравнения) эта функция является решением уравнения (*) при любом . Чтобы показать, что эта функция является общим решением, остается доказать, что если заданы начальные условия , то можно подобрать так, чтобы эти начальные условия выполнялись.
Найдем производные решения и подставим начальные данные. Получим систему:
Эта система линейная с тремя неизвестными . Определитель этой системы – это определитель Вронского для системы функций вычисленный в точке .
Так как система - фундаментальная, то , следовательно, система имеет единственное решение:
Функция будет удовлетворять начальным условиям.
По определению общего решения (понятие общего решения п. 6) мы утверждаем, что эта функция действительно общее решение уравнения (*). Теорема доказана.
Пример. Найти общее решение уравнения , если частные решения .
Решение. Отношение функция, следовательно, и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.
Значит, общее решение имеет вид:
.