- •Дифференциальные уравнения
- •1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •2. Основные понятия дифференциальных уравнений
- •3. Дифференциальные уравнения I порядка
- •Геометрический смысл общего и частного решений
- •4. Задача Коши
- •5. Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка
- •5.1 Уравнения с разделяющимися переменными
- •5.2 Однородное уравнение
- •(Общий вид),
- •5.3 Линейное уравнение первого порядка
- •5.4. Метод Бернулли
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Понятие общего решения
- •Понятие частного решения уравнения
- •7. Уравнения, допускающие понижения порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9. Свойства решений линейного однородного уравнения Левую часть уравнений
- •10. Линейные зависимые и линейные независимые системы функций
- •11. Определитель Вронского и его свойства
- •Свойства определителя Вронского
- •12. Фундаментальная система решений
- •13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
- •14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •15. Нахождение решения линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных
- •16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .
- •16.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
4. Задача Коши
Решив задачу 1), мы получили закон движения при . Но с точки зрения физики этот закон неопределенный, т.к. он содержит – произвольную постоянную. Чтобы окончательно определить закон движения, нужно наложить условия на . Например, при пусть . Тогда закон .
Таким образом, мы пришли к задаче с начальным условием.
Задача Коши:
Пусть дано дифференциальное уравнение: (1)
и два числа и , которые мы будем называть начальными данными. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: или .
Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что интегральная кривая проходит через точку .
Пример. . Пусть . Уравнение с начальными условиями – это задача Коши.
Решение. . Получим частное решение – решение задачи Коши. , которая проходит через точку .
Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Если функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области , то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию .
Геометрический смысл этой теоремы в том, что через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая.
5. Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка
5.1 Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, если в нем коэффициент при зависит только от , а при зависит только от . Общий вид: . Далее проинтегрировав, получим решение: .
Пример 1-2.
1) ;
общий интеграл (концентрические окружности).
2) .
Интеграл справа не берется в конечном виде. В этом случае говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах.
Определение. Квадратурой называется взятие неопределенного интеграла в уравнении.
Уравнение является интегрированным в конечном виде, если его общий интеграл выражается через элементарные функции или квадратуры.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, в котором коэффициенты при и распадаются на множители только от одной переменной.
Общий вид: .
Используя правило умножения и деления, разделив на , получим уравнение с разделенными переменными: .
Замечание. Здесь предполагается, что .
Пример 2. 1) . Разделяя дифференциалы:
.
2)
; .
5.2 Однородное уравнение
Определение. Функция называется однородной функцией k-го измерения, если при замене в ней на , а на выполняется равенство: .
Пример 1. .
т.е. функция второго измерения. Если , то получаем однородную функцию нулевого измерения, т.е. имеет место равенство:
при любом . Положим , получим:
.
Это говорит о том, что однородную функцию нулевого измерения можно представить как функцию отношения , т.е. .
Определение. Уравнение называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения.
Общее решение однородного уравнения находится с помощью подстановки , где новая переменная, зависящая от , т.е. .
Однородное уравнение перепишем в виде: (1)
Из замены следует: .
Подставляя замену в уравнение (1), получаем:
; .
Таким образом, однородное уравнение с помощью подстановки всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение. .
Имеем однородную функцию нулевого измерения. Замена: . Подставляем в уравнение:
;
Возвращаясь к замене:
Однородное уравнение можно записать в дифференциальной форме: