§ 6. Спектральная плотность стационарной случайной функции

Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют функцию s_x(ω), которая связана с корреляционной функцией k_x(τ) взаимно-обратными преобразованиями Фурье:

Эти формулы называют формулами Винера—Хинчина. В действи­тельной форме они представляют взаимнообратные косинус-преоб­разования Фурье:

Нормированной спектральной плотностью стационарной слу­чайной функции X(t) называют отношение спектральной плотности к дисперсии случайной функции:

s_{x норм}(ω)=s_x(ω)/D_x=s_x(ω)/

Взаимной спектральной плстностью двух стационарных и ста­ционарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) называют функцию s_xy (ω), определяемую преобразованием Фурье:

Взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье:

Задачи

3.74[877] Доказать, что спектральная плотность стационарной случайной функции—четная функция.

Указание. Использовать формулу

3.75[878] Доказать, что, зная спектральную плотность стационарной случайной функции Х(t) можно найти дисперсию этой функции по формуле .

3.76[879] Найти дисперсию стационарной случайной функ­ции Х(t), зная ее спектральную плотность s_x(ω)=10/π(1+ω²).

3.77[880] Доказать, что, зная спектральную плотность дифференцируемой стационарной случайной функции, можно найти спектральную плотность ее производной по формуле

3.78[881] Задана спектральная плотность s_x(ω)=α²/(ω²+α²)², (α>0) дифференцируемой стационарной случайной функции X(t). Найти дисперсию производной X' (t).

3.79[882] Доказать, что, зная спектральную плотность дважды дифференцируемой случайной стационарной функции X(t) можно найти спектральную плотность второй производной X'(t) по формуле

3.80[883] Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=1-|τ| при |τ| 1; корреляционная функция равна нулю при |τ|> 1.

3.81[884] Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), зная ее корреляционную функ­цию k_x(τ)=1—(1/5)|τ| при |τ| 5; корреляционная функция бавна нулю при |τ| > 5.

3.82[885] Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=e^-|τ|.

3.83[886] Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ|, (α>0).

3.84[887] Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=e^-|τ| cosτ.

3.85[888] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ| cosβτ, (α>0).

3.86[889] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ| [cosβτ+(α/β)sinβ|τ|], (α>0).

3.87[890] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию

3.88[891] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ|(1+α|τ|) (α>0).

3.89[892] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=100e^-0.1|τ| (1+0.1τ).

3.90[893] Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ| (1+α|τ|+(1/3)α²τ²) (α>0).

3.91[894] Найти спектральную плотность случайной функции Y(t)=X(t)+X'(t), зная корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ|(1+α|τ|) (α>0) стационарной дифференцируемой случайной функции X(t).

3.92[895] Может ли функция k_x(τ)=e^|τ|(1+|τ|+τ²) быть корреляционной функцией стационарной случайной функции Х(t)?

3.93[896] а) Доказать, что функция может быть корреляционной функцией стационарной случайной функции X(t). б) Доказать методом от противного, что не сущест­вует такой стационарной функции, корреляционная функция которой сохраняет постоянное значение в интервале (—τ₁,τ₁), симметричном относительно начала координат, и которая равна нулю вне этого интервала.

3.94[897] Задана спектральная плотность s_x(ω)=10α/π(α²+ω²) (α>0) стационарной случайной функции. Найти нормированную спектральную плотность.

3.95[898] Задана спектральная плотность s_x(ω)=Dα/π(α²+ω²) (α>0) стационарной случайной функции. Найти спектральную функцию S_x(ω)=

3.96[899] Доказать, что спектральная плотность равна производной от спектральной функции: s_x(ω) = S'_x(ω).

3.97[900] Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X (t) и Y (t) справедливо соотношение, связывающее взаимные спектральные плотности: s_xу(—ω)=s_yx(ω).

3.98[901] Доказать, что взаимные спектральные плотности дифференцируемой стационарной случайной функции нее производной связаны равенством .

3.99[902] Доказать, что, зная спектральную плотность s_x(ω) дифференцируемой стационарной случайной функции Х(t), можно найти взаимную спектральную плотность функции X(t) и ее производной по формуле .

3.100[903] Известна спектральная плотность s_x(ω)= =2Dα³/π(α²+ω²)² (α>0) дифференцируемой стационарной случайной функции Х(t). Найти взаимную cпектральную плотность функции X (t) и ее производной.

3.101[904] Найти взаимную спектральную плотность диф­ференцируемой стационарной случайной функции X(t) и ее производной, зная корреляционную функцию .

3.102[905] Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции X(t), зная ее спектральную плот­ность s_x(ω)=s₀ в интервале ; вне этого интервала s_x(ω) = 0.

3.103[906] Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность: s_x(ω)=s₀ в интервалах (-2ω₀, - ω₀) и (ω₀, 2ω₀); вне этих интервалов s_x(ω) = 0.

3.104[907] Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность s_x(ω)=Dα/π(α²+ω²).

3.105[908] Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность s_x(ω) = 2/π(4+ω²).

3.106[909] Найти корреляционную функцию стационарного белого шума—стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью s_x(ω) = s₀.

Ответы

3.76 D_x=10. 3.78 . 3.80 s_x(ω)=2sin²(ω/2)/πω². 3.81 s_x(ω)= =2sin²(5ω/2)/5πω². 3.82 s_x(ω)=1/π(1+ω²). 3.83 s_x(ω)=Dα/π(α²+ω²). 3.84 s_x(ω)=(2+ω²)/π[1+(1-ω)²][1+(1+ω)²]. 3.85 s_x(ω)=(Dα/π)·(ω²+α²+β²)/ [(ω--β)²+α²] [(ω+β)²+α²]. 3.86 s_x(ω)=(2Dα/π)·(α²+β²)/[(ω²α²+β²)²-4β²ω²]. 3.87 3.88 s_x(ω)=2Dα³/π(α²+ω²)². 3.89 s_x(ω)= =(1/5)/(ω²+0.01)²π. 3.90 s_x(ω)=8Dα⁵/3π(α²+ω²)³. 3.91 s_x(ω)=2Dα³(1+ω²)/ /π(α²+ω²)². 3.92 нет. 3.94 s_{x норм}(ω)=α/π(α²+ω²). 3.95 S_x(ω)= =D[(1/π)arctg(ω/α)+0.5]. 3.100 =iω2Dα³/π(ω²+α²)². 3.101 3.102 k_x(τ)=2s₀(sinω₀τ)/τ. 3.103 k_x(τ)=(2s₀sinω₀τ) (2cosω₀τ-1)/τ. 3.104 k_x(τ)=De^-α|τ|. 3.105k_x(τ)=e^-2|τ|. 3.106 k_x(τ)=2πs₀δ(τ).