Тема 2. Каноническое разложение

Каноническим разложением случайной функции X(t) называется ее представление в виде

(1)

где V_k (k=l, ..., m) —центрированные, некоррелированные случайные величины с дисперсиями D_k (k = 1, ..., m); φ_k (t) (k = 1, ..., m) — неслучайные функции.

Случайные величины V_k (k = i_t ..., m) называются коэффициен­тами, а функции φ_k(t) (k=1, ..., т) —координатными функциями канонического разложения.

Если случайная функция X (t) допускает каноническое разложение (1) в действительной форме, то корреляционная функция K_x(t, t') выражается суммой вида

которая называется каноническим разложением корреляционной функции.

Задачи

2.1 [9.12] Задана случайная функция где V₁ и V₂— некоррелированные случайные величины с ха­рактеристиками . Найти характеристики случайной функции X(t).

2.2 [9.13] Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением где V_i - центрированные случайные величины с дисперсиями (i= 1,2,..., n); М[V_iV_j] = 0 при i j, a —неслучайная величина. Найти характеристики случайной функции X(t).

2.3 [9.14] Случайная функция X(t) задана каноническим разложением X(t)=t+V₁cosωt+V₂sin ωt, где V₁ и V₂—некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями D₁ = D₂ = 2. Определить, является ли стационарной случайная функция X(t).

2.4 [9.15] Заданы две случайные функции: X(t)=t+V₁cosωt+ +V₂sinωt, Y(t)=t+U₁cosωt+U₂sinωt. Математические ожидания всех случайных величин V₁, V₂, U₁, U₂ равны нулю, дисперсии равны нормированная корреляционная матрица системы (V₁, V₂, U₁, U₂) имеет вид:

Определить взаимную корреляционную функцию R_xy(t,t’) и найти значение этой функции при t=0, t’=1. Определить R_yx(t,t’) и найти значение этой функции при t=0; t’=1.

2.5 [14.617] Случайный процесс X(t) задан представлением X(t)= =t+U₁cost+U₂sint, где М [U₁] = 1, M[U₂]==2, Найти канонические разложения процесса и корреляционной функции.

2.6 [14.619] Случайная функция задана каноническим разложением X(t)=t+М₁cost+М₂sint, D[V₁]=1, D[V₂]=2. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса a) б) .

2.7 [14.621] Случайный процесс X(t) задан каноническим разложением X(t)=1+Ut+Vt² с характеристиками D_U=3, D_v=l. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию производной данного процесса. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса.

Ответы

2.1 m_x(t)=0;K_x(t,t’)= . 2.2 m_x(t)=a; 2.4 a) R_xy(t,t’)=cos(ω₁t+ω₂t’), R_xy(0,1)=cosω₂; б) R_yx(t,t’)=cos(ω₁t’+ω₂t), R_yx(0,1)=cosω₁. 2.5 X(t)=t+cost+2sint+V₁φ₁(t)+V₂φ₂(t), K_x(t₁,t₂)= =φ₁(t₁)φ₂(t₂)+(13/8) φ₂(t₁)φ₂(t₂), где φ(t)=Aψ(t), V=(A^T)^-1 , A= , (A^T)^-1= . 2.6 a) m_z(t)=1, D_z(t)=1+cos²t, K_z(t₁,t₂)=sint₁sint₂+ +2cost₁cost₂; б) m_y(t)=t²/2, D_y(t)=(1-cost)²+2(1-cost), K_y(t₁,t₂)=sint₁sint₂+ +2cost₁cost₂-2(cost₁+cost₂)+2. 2.7 m_z(t)=0, K_z(t₁,t₂)=3+4t₁t₂, где Z(t)= =dX(t)/dt.

Тема 3. Стационарные случайные процессы § 1. Характеристики стационарной случайной функции

^{Стационарной называют случайную функцию X(t), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t}₂ ^{– t}₁^{. Отсюда следует, что:}

^{1. Корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента τ= t}₂ ^{– t}₁^:

^K_x^(t₁^{, t}₂^)=k_x^(t₂ ^{– t}₁^)=k_x^(τ).

^{2. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна при вcex значениях аргумента t и равна значению корреляционной функции в начале координат (τ=0):D}_X^(t)=k_x^(0).

^{Корреляционная функция стационарной функции обладает следующими свойствами.}

^{Свойство 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции —четная функция :k}_x^(τ)=k_x^(-τ).

^{Свойство 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: | k}_x ^{(τ) | k}_x ^(0).

^{Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента τ:}

^ρ_x^(τ)=k_x^(τ)/k_x^(0).

^{Абсолютная величина нормированной коорреляционной функции не превышает единицы: | ρ}_х ^{(τ) |< 1.}

Задачи

3.1[14.585] Двумерный закон распределения случайной функции X(t) описывается плотностью , где υ>0. Найти основные характеристики: m_x(t), D_x(t) и K_x(t₁, t₂).

3.2[14.586] Случайная величина является частным случаем такой случайной функции, у которой отсутствует зависимость от t. Пусть X(t)=X для всех t R, причем X — С.В.Н.Т., подчиняющаяся показательному распределению с параметром λ= 2. Найти m_х (t), D_x (t) и F₂ (x, у/t₁, t₂).

3.3[14.587] Случайный процесс Х(t) имеет вид X(t) =Vt², (t>0), где V—случайная величина, равномерно распределенная на [0,3]. Найти одномерную функцию распределения и одномерную плотность этого процесса.

3.4 [14.588] Случайная функция X(t) задана в виде X(t)=Vt+b, где V—С. В. Н. Т., подчиняющаяся закону N (m, σ), a b—неслучайная константа. Найти одномерную плотность f₁(x/t) и основные характеристики процесса: m_x(t), σ_x(t) и K_x(t₁, t₂).

3.5[14.589] Случайная функция Х(t) задана в виде X(t)=U+Vt, где U и V—независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону распределения N(m,σ). Используя свойства математического ожидания и дисперсии, вычислить m_x(t), D_x(t) и K_x(t₁, t₂).

3.6[14.591] Заданы плотности f_U(u) и f_v(v) независимых случайных величин U и V. Записать одномерную плотность f₁(x/t) процесса X(t)=U+Vt при t > 0.

3.7[14.592] Заданы корреляционные функции K_x(t₁, t₂) и K_y(t₁, t₂) и математические ожидания m_x(t) и m_y(t) двух независимых случайных процессов X(t) и Y(t). Найти корреляционную функцию процесса Z(t)=X(t)Y (t).

3.8[14.593] Показать, что если две случайные функции X(t) и Y (t) некоррелированы при любом фиксированном t и имеют нулевые математические ожидания, то а корреляционная функция их произведения равна произведению корреляционных функций отдельных сомножителей.

3.9 [14.594] Доказать следующее свойство корреляционной функции: если Y(t)=ψ(t)Х(/)+φ(t), где φ(t) и ψ(t) —неслучайные функции, то K_Y(t₁, t₂)=ψ(t₁)ψ(t₂)K_X(t₁,t₂).

3.10 [14.595] Дана корреляционная функция случайного процесса X(t): Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса

3.11 [14.596] Случайный процесс Z(t) задан в виде Z(t)=X(t)+ +tY(t)+t², где X(t) и Y (t) — некоррелированные случайные процессы с

характеристиками

Найти m_z(t) и D_z(t).

3.12[14.598] Заданы случайные функции Х(t) = -Usint + Vcost, Y(t)=Ucost + Vsint, где U и V—некоррелированные стандартизованные случайные величины. Найти автокорреляционные функции ρ_x(t₁, t₂) и ρ_y(t₁, t₂) процессов Х(t) и Y(t), а также кор­реляционную функцию связи ρ_xy(t₁, t₂).

^{3.13 [830] Задана случайная функция X(t)=cos(t+φ), где φ—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2 π). Доказать, что X(t)—стационарная функция.}

^{3.14[831] Задана случайная функция X(t)=sin(t + φ), где φ—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2π). Доказать, что X (t)—стационарная функция.}

^{3.15[832] Доказать, что если X(t)—стационарная случайная функция, Y—случайная величина, не связаннаяс Х(t) то случайная функция Z(t)=X(t) + Y стационарна.}

^{3.16 [833] Доказать, что если X(t)—стационарная случайная функция, Y=Х(t}₀^{) —случайная величина, то случайная функция Z(t) = X(t) + Y нестационарна.}

^{3.17[834] Стационарна ли случайная функция X (t) = Ucos2t, где U—случайная величина?}

^{3.18[835] Является ли стационарной случайная функция X(t)=Usint +Vcost, где U и V—некоррелированные случайные величины, причем m}_u^=m_v^{= 0, D}_u^=D_v^=D?

^{3.19[836] Задана случайная функция X (t) = t2 + Usint + Vcost, где U и V—случайные величины, причем M(U)=M(V)=0, М(UV)=0; D(U)=D(V)=10. Доказать, что: а) Х(t) — нестационарная функция; б) (t) —стационарная функция.}

^{3.20[837] Будет ли стационарной случайная функция X(t)=asin(ωt+φ), где а, ω—положительные постоянные числа: φ—случайная величина, плотность распределения которой f(φ) = cosφ в интервале (0, π/2)?}

^{3.21[838] Доказать нестационарность случайной функции X(t)= =asin(ωt+φ), где а, ω—положительные числа; φ—нормально распределенная случайная величина, плотность вероятности которой f(φ) = (1/ )}

^{3.22 [839] Найти дисперсию случайной функции X(t)= asin(ωt+ φ), где а, ω—положительные числа; φ—нормально распределенная случайная величина, плотность вероятности которой f(φ) = (1/ )}

^{3.23 [840] Доказать, что корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция.}

^{3.24 [841] Известна корреляционная функция k}_x^{(τ) стацио­нарной функции X(t). Доказать, что если Y(t) = aX(t), то k}_y^(τ)=a2k_x^(τ).

^{3.25[842] Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t) = 4X(t).}

^{3.26[843] Доказать, что дисперсия стационарной случайной функции X(t) постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат: D}_x^{(t) = k}_x^(0).

^{3.27 [844] Доказать, что абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения вначале координат: |k}_x^{(τ)] k}_x^(0).

^{3.28 [845] Найти нормированную корреляционную функцию, зная корреляционную функцию стационарной случайной функции X(t): а) k}_x^{(τ) = 3 ; б) k}_x^(τ)=D_x^{e-|τ|·(1+|τ|).}

Ответы

^{3.1 m}_x^{(t)=υt, D}_x^{(t)=1+t2, K}_x^(t₁^,t₂^{)= 3.2 m}_x^{(t)=1/2; D}_x^{(t)=1/4; F}₂^(x,y/t₁^,t₂^{)= 3.3 F}₁^{(x/t)= f}₁^{(x/t)= 3.4 m}_x^{(t)=tm+b, σ}_x^{(t)=σ|t|, K}_x^(t₁^,t₂^)=t₁^t₂^{σ2. 3.5 m}_x^{(t)=m(1+t), D}_x^{(t)=σ2(1+t2), K}_x^(t₁^,t₂^)=σ2(1+t₁^t₂^{). 3.6 f}₁^{(x/t)= t>0. 3.7 K}_z^(t₁^,t₂^)=K_x^(t₁^,t₂^{) K}_y^(t₁^,t₂^{)+ K}_x^(t₁^,t₂^)m_y^(t₁^)m_y^(t₂^{)+ K}_y^(t₁^,t₂^)m_x^(t₁^)m_x^(t₂^{). 3.10 K}_y^(t₁^,t₂^{)= 3.11 m}_z^{(t)=4+t+t2, D}_z^{(t)=9+4t2. 3.12 ρ}_x^(t₁^,t₂^)=ρ_y^(t₁^,t₂^)=cos(t₂^-t₁^{), ρ}_xy^(t₁^,t₂^)=sin(t₂^-t₁^{). 3.14 m}_x^{(t)=0, K}_x^{(t)= =(1/2)cos(t}₂^-t₁^{). 3.17 X(t) – нестационарная функция: m}_x^(t)=m_u^{cos2t ≠ const. 3.18 X(t) – стационарная функция: m}_x^{(t)=0; K}_x^(t)=Dcos(t₂^-t₁^{). 3.20 X(t) – нестационарная функция: m}_x^{(t)= . 3.22 D}_x^{(t)=a2[0.5-(1/2e2)2]cos2ωt+a2[0.5-(1/e)-(1/2e2)]sin2ωt.}

^{3.25 3.28 a) ρ}_x^{(τ)= ; б) ρ}_x^{(τ)=e-|τ|(1+|τ|).}