- •Глава 1. Элементы логики предикатов
- •1.1. Понятие предиката
- •1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
- •Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
- •1.1.2. Изобразите геометрически множество истинности одноместных предикатов g(X) и p(X), если:
- •1.1.3. Изобразите геометрически множество истинности предиката p(X), решив систему неравенств:
- •1.1.4. Постройте матрицу двуместного предиката p(X,y) и проверьте решение геометрически:
- •1.1.5. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката a(X, y).
- •1.1.6. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката q(X,y).
- •1.2. Операции над предикатами и кванторами
- •1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:
- •1.3. Виды форм логики предикатов
- •1.3.2. Приведите формулы логики предикатов к приведенной нормальной форме, где X, y, z – вещественные переменны, применив отрицание к формуле:
- •1.3.3. Приведите к предваренной нормальной форме следующие формулы логики предикатов:
- •1.4. Применение логики предикатов
- •1.4.2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •1.4.3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
- •1.4.4. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •1.4.5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
1.4.5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
Действительная функция f(x) действительного переменного x есть функция ограниченной вариации на интервале [a, b], если существует такое положительное число M, что для всех разбиений a = x0 < x1 < … < xn = b интервала [a, b] выполняется равенство
Абсолютным экстремумом числовой функции f называется точка P0 в области определения D функции, обладающая свойством f(P0) f(P) для всех P, принадлежащих D (абсолютный максимум) или свойством f(P0) f(P) для всех P, принадлежащих D (абсолютный минимум).
Однозначная функция f комплексного переменного z = x + iy называется аналитической функцией в точке z0, если в некотором круге |z – z0| < r с центром z0 и радиусом r > 0 она определена и представима степенным рядом:
f(z) = a0 + a1(z - z0) + … + an(z – z0)n + …
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке (a, b) из ее области определения D(f), если для x из (a, b) выполняется равенство F’(x) = f(x).
Точка x0 из области определения D(f) функции f называется точкой максимума этой функции, если найдется - окрестность (x0 - ; x0 + ) точки x0, такая, что для всех x x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x0).
Число b называется пределом функции f(x), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что если всех x a, удовлетворяющих неравенству x - a < , будет выполняться неравенство f(x) - b <
Точка x0 из области определения D(f) функции f называется точкой минимума этой функции, если найдется - окрестность (x0 - ; x0 + ) точки x0, такая, что для всех x x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x0).
Вектор-функция v(t) ограничена, если для каждого положительного числа существует такое число , что из 0 < |t – t1| < следует |v(t) – v1| <
Аппроксимация функции f на отрезке [a, b] функциями X1, X2, …Xn, … при условии, что отклонение f от Xn измеряется с помощью (f, Xn) = max |f(X) - Xn(x)| при a x b, называется равномерной аппроксимацией.
Интервалом числовой прямой называется множество действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству a < x < b, где a и b – действительные числа, x0 = (a + b)/2- центр интервала. Интервал числовой прямой называется - окрестностью точки x0, если |x - x0|< .
1.4.6. Запишите теоремы и свойства на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
0) Основная теорема алгебры.
Всякий отличный от константы многочлен вида:
с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень в поле комплексных чисел.
Общие свойства числовых полей:
Для любых элементов а и в поля F определены их сумма а + в и произведение а x в. В поле существует нуль и единица.
Основная теорема алгебры по Эйлеру:
Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.
Теорема о достаточном условии монотонности
Если функция f(x) дифференцируема в промежутке X и f'(x)>0 (f'(x)<0) для всех xX , то f(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.
Следствие из основной теоремы алгебры:
Любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.
Лемма Д'Аламбера
Если для какого-нибудь x f(x)≠0, где f(x) - многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|.
Общие свойства числовых полей:
Для любого числового поля F справедливы тождества:
а + в = в + а (ав)с = а(вс)
(а + в)+ с = а+(в + с) а x 1= а
а + 0 = а а x 1/а = 1
а + (-а) = 0 а(в + с) = ав + ас
ав = ва
Теорема о производной
Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
Общие свойства числовых полей:
Для любого числа а из поля F в F есть противоположное ему число –а, а если а ≠ 0, то и обратное ему число 1/а.
Теорема о достаточном условии выпуклости вверх и вниз
Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале X и в ней f''(x) >0 (f''(x) <0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.
1.4.7. Запишите теоремы на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
Теорема Фейера о суммировании средними арифметическими.
Каждый ряд Фурье суммируем средними арифметическими к функции f(t) при всех t в интервале (-T/2, T/2), для которых функция f(t) непрерывна; в точках разрыва первого рода средние арифметические сходятся к (f(t – 0) + f(t + 0))/2
Теорема Вейерштрасса об изолированной особой точке.
Пусть f(z) – однозначная функция, имеющая изолированную особую точку при z = a. Тогда для любого комплексного числа А (включая А = ) существует последовательность точек zk a такая, что lim f(zk) = A при k .
Теорема Пикара об изолированной особой точке.
Пусть f(z) – однозначная функция, имеющая изолированную особую точку при z = a. Тогда для любого комплексного числа А , за исключением, быть может, одного значения А = А0 , каждая окрестность точки а содержит бесконечное множество точек z таких, что f(z) = A.
Теорема Лагранжа о конечном приращении.
Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то в интервале (a, b) существует такое число X, что f(b) – f(a) = f’(X)(b – a).
Теорема Вейерштрасса о приближении.
Пусть f(x) – действительная функция, непрерывная на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Тогда для каждого заданного положительного числа существует такой действительный многочлен
P(x) , что f(x) – P(x) < при всех x [a, b].
Теорема Коши о среднем значении
Если функции u(x) и v(x) непрерывны на [a, b] и v(b) v(a) и существуют производные u’(x) и v’(x) в интервале (a, b) и одновременно не обращаются в нуль, то в интервале (a, b) существует такое число X, что
Теорема Руше о нулях функции
Если f1(z) и f2(z) – аналитические функции в ограниченной области D и на ее контуре C и если | f2(z)| < | f1(z)| 0 на С, то функции f1(z) и f1(z) + f2(z) имеют одинаковое число нулей в области D.
Теорема о функциях, разложимых в ряд Фурье
Ряд Фурье или интеграл Фурье, порожденный действительной функцией f(t), абсолютная величина которой интегрируема на интервале разложения I, сходится равномерно к f(t) на каждом таком интервале (a, b) (a - , b + ) I, где > 0, что на (a - , b + ) функция f(t) непрерывна.
Теорема Фейера о cходимости средних арифметических.
Средние арифметические сходятся к f(t) почти всюду в интервале разложения; они сходятся к f(t) равномерно на каждом таком интервале (a, b)
Теорема Ролля об отделении действительных корней
Пусть a и b – два соседних действительных корня уравнения f’(x) = 0 и пусть f(a) 0 и f(b) 0. Уравнение f(x) = 0 между a и b либо вовсе не имеет действительных корней, либо имеет один действительный корень в зависимости от того, будут ли числа f(a) и f(b) иметь одинаковые или противоположные знаки.