- •Глава 1. Элементы логики предикатов
- •1.1. Понятие предиката
- •1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
- •Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
- •1.1.2. Изобразите геометрически множество истинности одноместных предикатов g(X) и p(X), если:
- •1.1.3. Изобразите геометрически множество истинности предиката p(X), решив систему неравенств:
- •1.1.4. Постройте матрицу двуместного предиката p(X,y) и проверьте решение геометрически:
- •1.1.5. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката a(X, y).
- •1.1.6. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката q(X,y).
- •1.2. Операции над предикатами и кванторами
- •1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:
- •1.3. Виды форм логики предикатов
- •1.3.2. Приведите формулы логики предикатов к приведенной нормальной форме, где X, y, z – вещественные переменны, применив отрицание к формуле:
- •1.3.3. Приведите к предваренной нормальной форме следующие формулы логики предикатов:
- •1.4. Применение логики предикатов
- •1.4.2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •1.4.3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
- •1.4.4. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •1.4.5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
1.4.3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
a) каждое положительное действительное число является квадратом другого;
b) натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 2;
a) для каждого натурального числа существует одно и только одно число, непосредственно следующее за ним;
b) каждое действительное число является кубом другого;
a) натуральное число, которое делится на 6, разделится и на 3;
b) произведение двух натуральных чисел, одно из которых четное, другое нечетное, есть число четное;
3) a) от перемены мест сомножителей произведение не меняется;
b) натуральное число, которое делится на 2 и 3, разделится на 6;
a) натуральное число, которое делится на 9, разделится на 3;
b) от перемены мест слагаемых сумма не меняется;
a) частное от деления двух натуральных четных чисел, если оно существует, есть число четное или нечетное;
b) если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из сомножителей делится на 5;
a) для чисел отличных от нуля существует наибольший общий делитель;
b) если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то среди них есть четное число, делящееся на 3;
a) если произведение двух натуральных чисел делится на 18, то хотя бы один сомножитель делится на 6 или хотя бы один из сомножителей нечетный;
б) сумма двух натуральных чисел, имеющих различную четность, нечетна;
a) для чисел отличных от нуля существует наименьшее общее кратное;
б) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их произведение не делится на 11;
а) если произведение двух натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один из сомножителей делится на 3 или хотя бы один из сомножителей четный;
б) сумма двух натуральных четных чисел, есть число четное.
1.4.4. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
0) Функция f (x) называется возрастающей в промежутке X из области определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1< x2 следует неравенство f(x1) < f(х2).
1) Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю
2) Функция (x) называется бесконечно малой при xa, если для любого >0 вблизи точки a выполняется неравенство |(x)|< (это значит, что существует проколотая окрестность точки a, в которой выполняется указанное неравенство)
3) Функция f непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и разность f(x)-f(a) бесконечно мала при xa, т.е. функция f непрерывна в точке a в том и только в том случае, когда .
4) Функция f(x) бесконечно большая при xa, если функция бесконечно мала при xa.
5) Функция называется периодической, если существует такое число T, что для любого аргумента x число x T принадлежит области определения и f(x T)=f(x).
6) Число А называется пределом бесконечной числовой последовательности {an} = a1, a2, a3, … , ai, … , an, …, если для всякого >0 существует такое натуральное n, что для всякого номера n, если n> n, то |an - A|<.
7) Функция f (x) называется убывающей в промежутке X из области определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(х2).
8) Функция называется четной, если для любого аргумента x из области определения число -x также входит в область определения и f(-x)=f(x).
9) Функция f (x) называется убывающей в промежутке X из области определения, если для любых x1, x2 X, из условия x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(х2).