4. Теплоёмкость.

Удельная теплоёмкость – количество тепла (кДж; ккал), необходимое для повышения температуры единицы количества вещества на 1°C.

Различают теплоёмкости:

Мольную μc ккал/моль·град;

Весовую (массовая) c ккал/кг·град (Дж/кг К);

Объёмную С' ккал/нм³·град (Дж/ нм³ К).

Зависимости между ними:

с= μc/ μ=С'/γ₀; μc=(22,4·10^-3)С';

С'= μc/(22,4·10^-3)=сγ₀.; С'= cρ^ну. (4.2)

Здесь μ- молекулярный вес; γ₀ - удельный вес при нормальных физических условиях (р₀=760 мм. рт.ст.; t₀=0°C ; V_μ^ну=(22,4·10^-3) м³/моль – молярный объём газа при нормальных физических условиях; ρ^ну - плотность газа при нормальных физических условиях .

Теплоёмкость реальных газов.

В зависимости от условий подвода тепла различают теплоёмкости:

При постоянном давлении

с_р , μ с_р С' _р

и при постоянном объёме

с_v , μ с_v С' _v.

с_р - с_v =АR какл/кг·град.

В единицах СИ:

с_р - с_v =R дж/кг·град.

μ с_р - μ с_v = μ АR=2 ккал/моль·град;

С' _р - С' _v =0,0886 ккал/нм³·град.

Истинная теплоёмкость с – теплоёмкость вещества в момент процесса (при данных р и Т или v и T).

Теплоёмкость в политропном процессе:

с= с_v (n-k)/(n-1).

Если параметры двух точек политропы соответственно: р₁, v₁ и, р₂, v₂ то: n=(lg р₁- lg р₂)/ (lg v₁- lg v ₂).

Показатели политропы процесса расширения:

Для дизелей n=1,20… 1,30;

Для карбюраторных двигателей n=1,20… 1,35.

Показатели политропы процесса сжатия:

Для дизелей без наддува n=1,36… 1,38;

Для дизелей с наддувом n=1,34… 1,37;

Для карбюраторных двигателей n=1,27… 1,35.

Отношение теплоёмкостей газа при постоянных давлении и объёме – показатель адиабаты (изоинтропы):

k = с_р / с_v = μ с_р / μ с_v = С _р / С _v;

для двухатомных газов k = 1,4 , для перегретого пара k =1,3, для сухого насыщенного пара k = 1,135 .

Весовые теплоёмкости:

с_v =АR/( k-1); с_р = k АR /( k-1).

Мольные теплоёмкости:

μ с_v =1,985/( k-1); μ с_р =1,985 k /( k-1).

Теплоёмкость смеси газов в зависимости от способа задания смеси:

с_см =g₁с₁+ g₂ с₂+…+ g_nс_n=Σⁿ_i=1 g_iс_i;

С _см= r₁С₁+ r₂ С₂+…+ r_nС_n=Σⁿ_i=1 rg_iС_i;

μ с_см = μ r₁с₁+ μ r₂ с₂+…+ μ r_nс_n=Σⁿ_i=1 μ r_iс_i,

где g₁, g₂ ,… g_n –весовые доли компонентов смеси;

r₁, r₂ ,… r_n –объёмные доли компонентов смеси.

Отношение количества теплоты δQ, полученного телом при бесконечно малом изменении его состояния, к связанному с этим изменению темературы тела dT, называется истинной теплоемкостью тела в данном процессе:

C = δQ/dT (4.1)

Обычно теплоемкость относят к единице количества вещества и в зависимости от выбранной единицы различают:

Единица количества вещества	Наименование удельной теплоемкости	Обозначение	Размерность
1 кг	Массовая	c	Дж/(кгК);
1 м3	Объемная*	c'	Дж/(м3К);
1 моль	Мольная (молярная)	μс	Дж/(мольК).

* - поскольку газы всегда занимают весь предоставленный им объем, при определении объемной теплоемкости объем газа берется при нормальных ус­ловиях.

Рассчитать количество теплоты Q_1-2, участвующее в процессе 1-2, с помощью истинной теплоемкости можно по формулам:

Q_l-2 = M I₁² c(t)dt = V_н.у. I₁² с' (t)dt = v I₁²μc(t)dt. (4.3)

Здесь I₁² – интеграл по температуре.

Изменение температуры тела при одном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера происходящего при этом процесса, поэтому теплоемкость является функцией процесса. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного количества теплоты. Численно величина с может изменяться в пределах от -∞ до +∞.

В термодинамических расчетах большое значение имеют: теплоемкость при постоянном давлении (изобарная теплоемкость):

с_р = δq_p/dT, (4.4)

c_v = δq_y/dT, (4.5)

равная отношению количества теплоты, подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению температуры тела.

Изобарная и изохорная теплоемкости связаны между собой уравнением Майера:

c_p = c_v + R - для массовых теплоемкостей;

μc_p = μc_v + Ro - для молярных теплоемкостей. (4.6)

В процессе v=const теплота, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. Поэтому с_р больше с_у на величину этой работы.

Для реальных газов с_р -с_у > R, поскольку при их расширении (при p=const) совершается работа не только против внешних сил, но и против сил притяжения, действующих между молекулами, что вызывает дополнительный расход теплоты.

Обычно теплоемкости определяются экспериментально, но для многих веществ их можно рассчитать с помощью молекулярно-кинетической теории газов.

Численное значение теплоемкости идеального газа позволяет найти классическая теория теплоемкости, основанная на теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул. Согласно этой теореме внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна числу степеней свободы молекул и энергии k_BT/2, приходящейся на одну степень свободы. Для 1 моля газа:

Uμ= iN_Ak_вT/2 =ir₀T/2, (4.7)

где N_A — число Авогадро; i — число степеней свободы (число независимых координат, которые нужно задать для того, чтобы полностью определить положение молекулы в пространстве).

Молекула одноатомного газа имеет три степени свободы соответственно трем составляющим в направлении координатных осей, на которые может быть разложено поступательное движение. Молекула двухатомного газа имеет пять степеней свободы, так как помимо поступательного движения она может вращаться около двух осей, перпендикулярных линии, соединяющей атомы (энергия вращения вокруг оси, соединяющей атомы, равна нулю, если атомы считать точками). Молекула трехатомного и вообще многоатомного газа имеет шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.

Поскольку для идеального газа μc_v = dUμ/dT = i r_q /2, то мольные те­плоемкости одно-, двух- и многоатомных газов равны, соответственно (таблица 4.1).

Таблица 4.1 - Молярные теплоемкости идеальных газов согласно молекулярно-кинетической теории газов

Атомность газа	Число степеней свободы, i	μcv, Дж/(моль К)	μcр Дж/(моль К)	k = cр /cv
Одноатомный	i = 3 пост	2r0 /3= 12,47	5r0 /2= 20,79	1,67
Двухатомный	i = 3 пост + 2 вр	2r0 /3= 20,79	7r0 /2= 29,10	1,4
Трех- и многоатомный	i = 3 пост+ 3 вр	3R0 = 24,94	4R0 = 33,26	1,33

Результаты классической теории теплоемкости достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными в области комнатных температур, однако основной вывод о независимости от температуры эксперимент не подтверждает. Расхождения, особенно существенные в области низких и достаточно высоких температур, связаны с квантовым поведением молекул и находят объяснения в рамках квантовой теории теплоемкости.

Эта теория устанавливает, прежде всего, несправедливость теоремы о равномерном распределении энергии по степени свободы в области низких и высоких температур. С уменьшением температуры газа происходит «вымораживание» числа степеней свободы молекулы. Так, для двухатомной молекулы происходит «вымораживание» вращательных степеней свободы и она вместо пяти имеет три степени свободы, а следовательно, и меньшую внутреннюю энергию и теплоемкость. С увеличением температуры у многоатомных молекул происходит возбуждение внутренних степеней свободы за счет возникновения колебательного движения атомов молекулы (молекула становится осциллятором). Это приводит к увеличению внутренней энергии, а следовательно, и теплоемкости с ростом температуры.

Теплоемкость реального газа зависит от давления, правда, очень слабо. Как упоминалось выше, теплоемкость реального газа зависит от температуры. Вид этой зависимости показан на рисунке 4.1. Из определения истинной теплоемкости (4.1) следует, что удельное количество теплоты с помощью истинной теплоемкости определяется по формуле:

q = ∫ cdt (4.8)

т.е. количество теплоты q в процессе определяется площадью, ограничен­ной линией теплоемкости, осью абсцисс и двумя ординатами крайних точек процесса (площадь 1-2-3-4-1 рисунок 4.1).

С

t₁ t₂ t

Рисунок 4.1 - Зависимость теплоемкости газа от температуры

Для упрощения расчетов зависимость истинной теплоемкости от температуры интерполируют квадратичным или линейным уравнением вида c = a + bt + et² или c = a + bt, где a, b, e - постоянные величины, зависящие от природы газа. В приложении 2 представлены линейные интерполяционные формулы истинных теплоемкостей. Для того чтобы рассчитать удельное количество теплоты q, необходимо выбрать соответствующую зависимость в таблице П.2.1, подставить ее в формулу 4.8 и провести численное интегрирование.

Чтобы облегчить расчеты и избежать численного интегрирования при определении количества теплоты, в термодинамике вводят понятие средней теплоемкости.

Средней теплоемкостью c_m данного процесса в интервале температур от t₁ до t₂ называется отношение количества теп­лоты, сообщаемой газу, к разности конечной и начальной температур:

С_m |_t1^t2=/(t₂-t₁) (4.9)

Для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет именно о средней теплоемкости, используется нижний индекс m (medium - средний (лат)). Учитывая выражение 4.8, получаем:

С_m |_t1^t2=∫ c(t)dt /( t₂-t₁) (4.10)

Выражение 4.10 показывает взаимосвязь между истинной и средней теплоемкостями.

По определению средняя теплоемкость является постоянной величиной для данного процесса, поэтому среднее значение удельной теплоемкости On в интервале температур от t₁ до t₂ может быть представлено высотой прямоугольника 1'-2'-3-4-1' (рисунок 4.1), основание которого равно t₂-t₁ и который по площади равновелик фигуре с тем же основанием, но ограниченной линией 1-2.

Удельное количество теплоты с использованием средней теплоемкости определяется по формуле:

q = С_m |_t1^t2 (t₂-t₁) (4.11)

При нелинейной зависимости удельной теплоемкости от температуры вычисляют значения средних удельных теплоемкостей с_т от 0 до 100^оС, от 0 до 200^оС, от 0 до 300^оС и т.д. Полученные результаты сводят в таблицы (приложение 4). Для расчета численного значения средней теплоемкости в произвольном интервале температур t₁ и t₂ с помощью этих таблиц пользуются формулой:

С_m |_t1^t2=( С_m |₀^t2 t₂- С_m |₀^t1 t₁)/ (t₂-t₁) (4.12)

Значения С_m |₀^t2 и ^; С_m |₀^t1 выбираются из таблиц приложения 4.

Часто в теплотехнических расчетах нелинейную зависимость средней теплоемкости от температуры принимают линейной, что дает достаточную точность в расчетах по определению количества теплоты в процессах. Средние удельные теплоемкости для газов в этом случае определяются по интерполяционным формулам, основанным на линейном уравнении вида с = a + bt, аналогичным интерполяционным формулам для истинных теплоемкостей (приложение 3). В этом случае расчет численного значения средней теплоемкости в произвольном интервале температур t₁ и t₂ производится следующим образом:

С_m |_t1^t2=а+b(t₂+t₁) (4.13)

Теплоемкости газовой смеси рассчитываются по формулам (4.14):

Массовая теплоемкость с_см =g₁с₁+ g₂ с₂+…+ g_nс_n=Σⁿ_i=1 g_iс_i;

_{Объемная теплоемкость} С' _см= r₁С'₁+ r₂ С'₂+…+ r_nС'_n=Σⁿ_i=1 rg_iС_i';

_{Молярная теплоемкость} μ с_см = μ r₁с₁+ μ r₂ с₂+…+ μ r_nс_n=Σⁿ_i=1 μ r_iс_i,

где g₁, g₂ ,… g_n –весовые (массовые) доли компонентов смеси;

r₁, r₂ ,… r_n –объёмные доли компонентов смеси.

Таким образом:

• Если в условии задачи говорится, что теплоемкость является постоянной величиной и не зависит от температуры, численное значение молярной теплоемкости определяется с помощью молекулярно-кинетической теории газов по таблице 4.1. При необходимости значения массовой или объемной теплоемкостей определяются по формулам 4.2.

• Если в условии задачи говорится - принять зависимость истинной теплоемкости от температуры линейной, то для того чтобы рассчитать удельное количество теплоты q, необходимо выбрать соответствующую зависимость в таблице П.2.1, подставить ее в формулу 4.8 и провести численное интегрирование.

• Если в условии задачи говорится - принять зависимость средней теплоемкости от температуры линейной, используются данные таблицы П.3.1 и формулы 4.13, 4.11.

• Если в условии задачи говорится - принять зависимость средней теп­лоемкости от температуры нелинейной, используются таблицы приложения 4 и формулы 4.12, 4.11.

Внимание! Во всех формулах 4.8 - 4.13 температура подставляется в градусах Цельсия!

Задачи

ОБЩАЯ ЗАДАЧА – 1. Определить значения теплоемкости газа при постоянном объеме и давлении, считая теплоемкость не зависящей от температуры (c=const).

Первая цифра варианта	Газ	Последняя цифра варианта	Вид теплоемкости
0	Водород	0	Массовая
1	Кислород	1	Массовая
2	Воздух	2	Объемная
3	Азот	3	Мольная
4	Аргон	4	Массовая
5	Неон	5	Объемная
6	Криптон	6	Мольная
7	Метан	7	Массовая
8	Пропан	8	Объемная
9	Водяной пар	9	Мольная

2. Определить значение массовой теплоемкости кислорода при постоянном объеме и давлении, считая теплоемкость не зависящей от температуры.

3. Определить среднюю массовую теплоемкость углекислого газа при постоянном давлении в пределах 0...825 °C, считая зависимость от температуры нелинейной.

4. Определить среднюю объемную теплоемкость при постоянном объеме для азота в пределах 200.800 °C, считая зависимость тепло­емкости от температуры нелинейной.

5. Определить среднюю молярную теплоемкость окиси углерода при постоянном давлении в пределах 50...750 °C, считая зависимость от температуры нелинейной.

6. Найти среднюю теплоемкость с_рт и cp_m углекислого газа в пределах 400...1000°С, считая зависимость теплоемкости от температуры нелинейной.

7. 5 м³ азота при постоянном давлении Р₁=1 МПа и начальной температуре t₁=10 °C нагревается до 110 °C. Найти количество теплоты, подведенное при этом. C≠f(t).

ОБЩАЯ ЗАДАЧА – 1. Определить теплоемкость газа при постоянном объеме и давлении, считая зависимость от температуры линейной (c=a+bt).

Первая цифра варианта	Газ	Последняя цифра варианта	Истинная/ средняя	Вид теплоемкости	Процесс	Значения температур t, °C
0	Воздух	0	Истинная	Массовая	V=const P=const	18
1	Азот	1	Истинная	Объемная	V=const P=const	900
2	Углекис­лый газ	2	Истинная	Мольная	V=const P=const	180
3	Окись углерода	3	Средняя	Массовая	V=const P=const	0...825
4	Водород	4	Средняя	Объемная	V=const P=const	10...450
5	Окись углерода	5	Средняя	Мольная	V=const P=const	530...925
6	Кислород	6	Средняя	Массовая	V=const P=const	0...950
7	Сернистый газ	7	Средняя	Объемная	V=const P=const	200...840
8	Водяной пар	8	Средняя	Мольная	V=const P=const	100...350
9	Азот	9	Средняя	Массовая	V=const P=const	0...275

4.8 Воздух охлаждается от 1000 °C до 100 °C в процессе с постоянным давлением. Какое количество тепла теряется 1 кг воздуха? Задачу решить, принимая теплоемкость воздуха постоянной, а также учитывая зависимость теплоемкости от температуры. Определить относительную ошибку, получаемую в первом случае.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА – 2. Газ в количестве 6 м³ при избыточном давлении p₁ и температуре t₁ нагревается при постоянном давлении до t₂. Определить количество подведенной к газу теплоты, считая зависимость средней теплоёмкости газа от температуры нелинейной.

Решить задачу в 2 случаях:

-используя массовую теплоемкость;

-используя объемную теплоемкость.

Сопоставить полученные ответы.

Первая цифра варианта	Газ	Последняя цифра варианта	Давление, Р, бар	Температура, °С
				t1	t2
0	Водяной пар	0	15	350	750
1	Окись углерода	1	10	25	70
2	Воздух	2	5	140	320
3	Сернистый газ	3	3	50	175
4	Углекислый газ	4	0,25	25	50
5	Водяной пар	5	25	600	900
6	Водород	6	1,5	25	100
7	Воздух	7	9	175	500
8	Кислород	8	6	200	600
9	Азот	9	7	70	90

ОБЩАЯ ЗАДАЧА – 3.В регенеративном подогревателе газовой турбины воздух нагревается от t₁ до t₂ при постоянном давлении. Определить количество теплоты, сообщаемое воздуху в единицу времени, если его массовый расход составляет G кг/ч. Ответ дать в кВт. Решить задачу в 4 случаях:

• считать теплоемкость не зависящей от температуры;

• зависимость истинной теплоемкости от температуры принять линейной;

• зависимость средней теплоемкости от температуры принять линейной;

• зависимость средней теплоемкости от температуры принять нелинейной.

Сопоставить полученные ответы.

Последняя цифра варианта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Температура, оС,
t1	100	150	200	150	100	200	150	100	200	150
t2	400	600	450	500	550	600	400	450	500	550
Первая цифра варианта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
G, кг/ч	220	250	360	300	340	280	320	270	310	290

4.9 Газовая смесь имеет следующий состав по объему: С0₂ = 0,12; О₂ = 0,07; N₂ = 0,75; Н₂0 = 0,06. Определить среднюю массовую теплоемкость срт, если смесь нагревается от 100 до 300^оС.

4.10 В калориметре с идеальной тепловой изоляцией находится вода в количестве М_в = 0,8 кг при температуре t_в1 = 15 ^оС. Калориметр изготовлен из серебра. Масса калориметра М_с = 0,25 кг. В калориметр опускают 200 г алюминия при температуре t_а = 100 ^оС. В результате этого температура воды повышается до t_в2 = 19,24 ^оС. Определить теплоемкость алюминия и сопоставить с табличным значением.

4.11 Продукты сгорания топлива поступают в газоход парового котла при температуре газов t₁ = 1000^оС и покидают газоход при температуре t₂ = 700^оС. Состав газов по объему: СО₂ = 11%; О₂ = 6%; Н₂О = 8%; N₂ = 75%. Определить, какое количество теплоты теряет 1 кг дымовых газов. Зависимость средней теплоемкости от температуры считать линейной.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА – 4. Найти количество теплоты, необходимое для нагрева 1 нм³ газовой смеси заданного состава при указанном процессе и нелинейной зависимости теплоёмкости от температуры.

Первая цифра варианта	Состав смеси, об.%				Последняя цифра варианта	Процесс	Температура,°C
	CO2	O2	CO	N2			t1	t2
0	12,2	7,1	0,4	80,3	0	P=const	350	750
1	10,2	8,1	1,4	80,3	1	V=const	25	70
2	11,2	7,6	0,4	80,8	2	P=const	140	320
3	10,0	8,1	0,2	81,7	3	V=const	50	180
4	11,0	8,2	0	80,8	4	P=const	25	50
5	2,2	17,1	0,4	80,3	5	V=const	600	900
6	5,2	17,1	7,4	70,3	6	P=const	25	100
7	5,2	12,1	0,7	82,0	7	V=const	175	500
8	8,2	6,8	76,7	8,3	8	P=const	200	600
9	9,1	5,1	5,5	80,3	9	V=const	70	90