4. Нормирование параметров фильтра и преобразование частоты

Для использования на этапе расчета фильтра графиков и таблиц, помещенных в справочниках, то есть для обращения к «каталогу фильтров», необходимо проектируемый фильтр привести к каноническое виду. Это приведение основано на двух процедурах: нормировании параметров фильтра и частотного диапазона и преобразовании частоты.

Нормирование заключается в переходе от размерных физических величин к безразмерным и близким к 1 за счет выбора подходящих нормирующих величин.

Преобразование частоты представляет собой процедуру, с помощью которой требования к ФВЧ, ПФ, ЗФ преобразуются в требования к ФНЧ, называемому «фильтром-прототипом». Эта же процедура после расчета фильтра-прототипа дает простой способ перехода от ФНЧ к более сложным типам фильтров [4], [5].

При выборе нормирующих величин следует учитывать, что полное сопротивление, частота, индуктивность и емкость связаны между собой. Поэтому только две переменные могут быть нормированы независимо. Чаще всего - это полное сопротивление и частота. Если взять нормирующую частоту f₀ в Гц и нормирующее сопротивление R₀ в Ом, то получим прочие нормирующие величины:

- нормирующую емкость в Ф;

- нормирующую индуктивность в Гн.

Тогда нормированные (безразмерные) значения определятся следующими выражениями:

- для частоты ,

-для сопротивления ,

для индуктивности ,

для емкости .

В качестве основных нормирующих величин R₀ и ₀ обычно выбираются сопротивления нагрузки R₂ (или внутреннее сопротивление источника R₁) и частота в некоторой удобной точке (чаще всего частота среза _c).

Сущность преобразования частоты заключается в замене частотной переменной _нч во всех частотных характеристиках фильтра-прототипа на функцию _нч = W().

Такое преобразование приводит к замене индуктивного и емкостного сопротивлений прототипа на новые реактивные сопротивления, характер и величина которых могут быть определены из выражений

_нч L_нч = W()L_нч

1/_нч С_нч=1/W() (8)

Подробные сведения об этих преобразованиях содержатся в [4], [5], [8]. Ниже приведены только правила преобразования элементов и расчетные соотношения для основных видов преобразований.

Преобразование ФНЧ-ФНЧ (масштабирование по частоте). Осуществляется путем следующей замены переменной:

(9)

Таким образом, если фильтр-прототип имел частоту среза, равную 1, то новый фильтр будет иметь частоту среза _с.

Характер реактивных сопротивлений в преобразованной схеме сохраняется, изменяется только величина элементов:

, (10)

Преобразование ФНЧ – ФВЧ

Осуществляется путем следующей смены переменной:

, (11)

При этом индуктивное сопротивление прототипа _нчL_нч преобразуется в емкостное

(12)

где ,

и наоборот емкостное - в индуктивное

, (13)

где .

Преобразование частоты в соответствии с (11) приводит к тому, что точки на АЧХ фильтра-прототипа, соответствующие частоте среза _снч и границе полосы подавления (частоте гарантированного затухания) _sнч, отображаются в точка, соответствующие частоте среза и частоте гарантированного затухания ФВЧ:

; (14)

В частности, если преобразованию подвергается нормированный фильтр-прототип с частотой среза _cнч = 1, то параметр преобразования А равен частоте среза проектируемого ФВЧ.

При задании требований к характеристике затухания ФВЧ необходимая избирательность фильтра-прототипа, определяющая его порядок, вычисляется из соотношения

(15)

Преобразование ФНЧ в ПФ.

Функция преобразования имеет следующий вид:

, (16)

где ₀ является требуемой средней частотой, а параметр В определяется полосой пропускания ПФ.

Преобразование частоты в соответствии с (16) обладает следующими свойствами:

1. Точка на характеристике ФНЧ, соответствующая _нч=0, отображается на две средние частоты ₀ и -₀. Точка, лежащая в бесконечности, отображается на начало координат.

2. В общем случае любая точка на характеристике ФНЧ, соответствующая частоте _нч, отображается на две точки, соответствующие частотам, являющимися корнями квадратного уравнения

² - B_нч  - ₀² = 0 (17)

В частности, граница полосы пропускания _снч и полосы подавления _sнч преобразуются в две точки каждая (_с1 и -_с2, _s1 и -_s2), что подтверждает получение характеристики, соответствующей полосовому фильтру.

3. Границы полос пропускания и полос подавления относительно центральной частоты ₀ расположены с соблюдением не арифметической, а геометрической симметрии:

_c1 _c2 = ₀², _s1 _s2 = ₀². (18)

4. Сумма частот, в которые преобразуется любая частотная точка прототипа, постоянна. В частности,

_c1 - _c2 = B_cнч, _s1 - _s2 = B_sнч . (19)

Из (19) можно определить параметр избирательности фильтра-прототипа, если заданы требования к АЧХ ПФ:

(20)

При таком преобразовании индуктивное сопротивление в схеме прототипа в ПФ заменяется сопротивлением последовательного LC-контура:

, (21)

где L=L_нч / B, C=B/(L_нч₀²).

Соответственно емкостное сопротивление преобразуется в сопротивление параллельного LC- контура:

, (22)

где С=С_нч/B, а L=B/(₀² C_нч).