- •Классификация моделей.
- •Структура моделей.
- •II. Ко входному контакту элемента подключается не более, чем один элементарный канал. Выходные контакты могут иметь сколько угодно элементарных каналов.
- •Последовательные этапы процесса имитации.
- •II (4 этап):
- •6 Этап (трансляция модели):
- •7 Этап ( оценка адекватности):
- •Представление исходных данных для имитации.
- •2) Принцип особых состояний:
- •Алгоритм метода статистических испытаний.
- •Псевдослучайные числа и процедура их генерации.
- •Моделирование испытаний в схеме случайных событий.
- •Формирование реализаций случайных векторов.
- •I. Пусть цель моделирования - вычислить вероятность р некоторого события а:
- •Случайный процесс.
- •Критерий Колмогорова.
- •I. Входной поток(w):
- •1. Простейший поток (стационарный пуассоновский):
- •Уравнение Эрланга и формула Эрланга.
- •Правила составления ду.
- •Моделирование смо с помощью метода статистических испытаний.
- •Формирование входного потока ( 3 -ий блок ).
- •Подалгоритм выбора канала.
- •Агрегаты. Основные понятия.
- •Процесс функционирования агрегата.
- •Представление смо в виде агрегата.
- •Корреляционный анализ.
Моделирование испытаний в схеме случайных событий.
1. Моделирование случайных воздействий:
Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Пусть СЧ Xi - это возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной на интервале [0,1]. Необходимо реализовать случайное событие А, которое наступает с заданной вероятностью P. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение Xi случайной величины x удовлетворяет неравенству Xi £ P, тогда вероятность наступления события А определяется как P(A):
P
P(A) = ò dx = P
0
А вероятность того, что событие А не наступит: P(`A ) = 1 - P(A)
Пример:
Ротказ. = 0,3; Рнорм. = 0,7
ДСЧ с норм. з-ном
распред-я
нет
Xi £ 0,3
да работа
отказ
2. Группа событий (метод розыгрыша по жребию):
Пусть А1, ¼ Аs- полная группа событий, Р1, ¼ Рs - вероятность наступления этих событий.
Определим Am как событие, состоящее в том, что выбранное значение Xi cлучайной величины x удовлетворяет неравенству lm-1 £ Xi £ lm,
r lm
где lr = å Pi. Тогда P(Am) = ò dx = Pm
i=1 lm-1
3. Моделирование испытаний, состоящих из двух независимых простых событий:
P(A), P(B) - вероятности наступления событий А и В соответственно.
P(AB) = P(A)P(B)
P( A`B) = P(A)P(`B) = P(A)[1 -P(B)]
P(`AB) = P(`A)P(B) = [1 - P(A)]P(B)
P(`A`B) = P(`A)P(`B) = [1- P(A)][1- P(B)]
4. Моделирование сложного события, состоящего из зависимых событий:
P(A), P(B)
P(B/A)
P(B/`A) - ?
Применим формулу Байеса:
P(B) = P(A)P(B/A) + P(`A)P(B/`A) (11.1)
P(B/A) = [P(B) - P(A)P(B/A)] / P(`A)
Исход моделируется также, как и при независимых испытаниях (2 подхода).
Формирование возможных значений СВ
с заданным законом распределения.
I. Точный универсальный (прямой) метод:
Теорема:
Если СВ h имеет функцию плотности распределения fh(y), то распределение СВ
h
x = ò fh(y)dy (11.2) имеет равномерный закон распределения в интервале [0,1].
-¥
Чтобы получить число, принадлежащее совокупности СЧ {yi}, имеющее fh(y), необходимо разрешить относительно yi уравнение:
yi
ò fh(y)dy = xj (11.3)
-¥
Пример: необходимо получить последовательность СЧ, имеющих экспоненциальный закон распределения f(y) = le-ly
yi yi
ò f(y)dy = xj = ò le-lydy = -e-lyi + 1 = xj
0 0
ln (1 - xj) = -lyi , yi = -1/l × ln xj (11.4)
Достоинства метода: он дает самые точные результаты.
Недостатки метода: он используется тогда, когда:
- возможно взять ò
- возможно решить уравнение относительно yi
II. На базе центральной предельной теоремы теории вероятности (приближенный неуниверсальный метод):
1) получение последовательности СЧ с нормальным законом распределения:
Пусть требуется получить последовательность СЧ {yi}, имеющих нормальное распределение с математич. ожиданием а, среднеквадратич. отклонением s и функцией плотности распределения f(y):
f(y) = 1/Ö2ps exp[ -(y-a)2/2s2] (11.5)
Теорема:
Если независимые, одинаково распределенные СВ X1, ¼ Xn имеют математич. ожидание а1 и среднеквадратичное отклонение s1, то сумма этих чисел асимптотически стремится к нормальному распределению с а = а1n (11.6)
и s = s1Ön (11.7).
При моделировании в качестве базового распределения используется равномерное на интервале [0,1]:
a = 1/2×n (11.8) ; s = 1/2Ö3×Ön (11.9)
Пример:
Получить последовательность СЧ с нормальным законом распределения,
а = 5, s = 1.
a =1/2n , n = 16 ; s = 1/2Ö3×Ön , n =12
2) получение последовательности СЧ с пуассоновским законом распределения:
Теорема:
Если Р - вероятность наступления события А при одном испытании, то вероятность наступления m событий при n независимых испытаниях, когда
n ® ¥, P ® 0, nP = a (11.10) асимптотически равна P(m,a):
am
P(m,a) = e-a (11.11)
m!
и носит пуассоновский закон распределения.
Алгоритм:
P = 0,1 - 0,2
Из (11.10) определяется n - количество испытаний
n
ДСЧ с равномер. m = k
з-ном распред-я
Xi
да
Xi £ P k = k +1
нет
III. Методы получения СЧ с нормальным законом распределения:
1) метод Бокса-Маллера:
yn = (-2 ln Un)1/2 cos 2pUn+1 (11.12)
yn+1 = (-2 ln Un)1/2 sin Un+1 (11.13)
Числа Un и Un+1 равномерны на [0,1], yn и yn+1 - это нормальные числа с математич. ожиданием = 0 и s = 1.
Тогда числа с математич. ожиданием m и s:
xn = m + syn
xn+1 = m + syn+1 (11.14)
IV. Метод, основанный на аппроксимации (приближенный универсальный):
Пусть требуется получить {yi} с fh(y), возможные значения которой лежат в интервале (a, b).
f h(y)
fh(y)
a ak ak+1 b y
Представим fh(y) в виде кусочно постоянной функции, т.е. разобьем (a, b) на m интервалов таким образом, чтобы вероятность попадания СВ h в любой интервал (ak , ak+1) была одинаковой и постоянной.
yi = ak + yik
ak+1
ò fh(y)dy = 1/m (11.15)
ak
Для того, чтобы найти ak, необходимо решить (11.15) относительно ak+1. (11.15) решается до процесса моделирования.
f(x) = 1/(b-a)
yik
xj = ò 1/(ak+1 - ak) dy , yik = xj(ak+1 - ak)
0
yi = ak + xj(ak+1 - ak) (11.16)
Алгоритм формирования чисел:
а) до процесса моделирования формируется таблица значений ak;
б) в процессе имитации формируется СЧ xj с равномерным законом распределения и в соответствии со значением xj выбирается интервал ak, ak+1;
в) формируется следующее СЧ xj+1 в интервале [0,1] с равномерным законом распределения и в соответствии с (11.16) получаем yi.