Имеются кратные корни
В 2-ч предыдущих случаях найденное число линейно независимых решений равнялось порядку уравнения (7.1), то есть было максимальным, поэтому решения образовывали ФСР.
В настоящем случае число различных
корней характеристического уравнения
.
Для получения общего решения найдем
дополнительное решение другого вида.
Пусть
– корень характеристического уравнения
(7.2) кратности
.
Тогда дополнительное решение имеет
вид:
Докажем это. Рассмотрим 2 случая:
(корень
кратности
).
Тогда характеристическое уравнение
принимает вид:
Запишем соответствующе дифференциальное уравнение
Решение этого уравнения:
Тогда дополнительное решение действительно
имеет вид
(*)
(корень
кратности
)
Замена
Такая замена не нарушает линейности и
однородности уравнения (7.1) После
подстановки получившихся выражений
имеем:
коэффициенты
по-прежнему постоянные. Выпишем
характеристическое уравнение для (7.3):
(7.4)
Корни (7.4) отличаются от корней (7.2) на
,
так как при
.
Тогда этот случай сводится к предыдущему,
так как корень характеристического
уравнения
(корень
кратности
).
Соответствующие решения
вида
.
Делая обратную замену, получаем (*) Таким
образом каждому кратному корню
соответствует столько дополнительных
корней, какова его кратность, итоговое
число линейно независимых решений (7.1)
равно числу корней характеристического
уравнения (7.2) с учетом их кратности.
Заметим, что кратные комплексные сопряженные корни дают решение вида:
и
Пример 3
Решение. Характеристическое уравнение
имеет вид:
–
корень кратности 2 Общее решение имеет
вид:
Пример 4
Решение. Характеристическое уравнение
имеет вид:
Тогда по схеме 3-го случая общее решение имеет вид:
§10 Система линейных ду с постоянными коэффициентами.
Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
Определение. Линейная система
дифференциальных уравнений 1-го порядка
(1)
Обозначим:
Тогда (1) можно записать в матричной
форме
.
Обозначим линейный оператор
.По
свойствам линейного оператора
получаем:1)
Определение. Векторы
где
называются линейно зависимыми на
,
если найдутся
,
не обращающиеся одновременно в ноль,
такие, что:
при всех
Если из выполняющегося равенства 3 на
всем отрезке
следует, что
,
то эти векторы называются линейно
независимыми.
Из свойств линейного оператора следует, что решение однородной линейной системы имеют те же свойства, то есть их линейная комбинация является также решением однородной системы. Отсюда вытекает (с учетом определения линейной независимости) следующая теорема.
ТЕОРЕМА 10.1 Общим решением линейной
однородной системы дифференциальных
уравнений (4)
является
линейная комбинация линейных независимых
решений этой системы:
Доказательство.
(6)
Уравнение (6) называется характеристическим
Найдя корни характеристического
уравнения (оно
– степени и потому имеет, с учетом
кратности,
корней), найдем
.
Это только в случае различных корней.
Пример 1
Решение. Составим характеристическое уравнение
Возьмем
,
Общее
решение имеет вид:
Пример 1
Решение. Составим характеристическое уравнение
Возьмем ,
Общее решение имеет вид: