Однородные ду.

Определение. Функция называется однородной (относительно своих аргументов), если - k-ого измерения.

Определение. ДУ первого порядка называется однородным, если оно в нормальной форме имеет вид или если функции и в дифференциальной форме записи этого ДУ являются однородными функциями одного и того же измерения.

Эти уравнения приводятся в ДУ с разделяющимися переменными.

Пусть . Заменим или , тогда , подставим:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Аналогично решается однородное ДУ записанное в дифференциальной форме.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Преобразуем его к нормальной форме:

Замена: , получим:

Общий интеграл .

§3. Линейные дифференциальные уравнения (лду) первого порядка. Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнение вида: (1)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Методы решения данных уравнений:

- Первый метод (Бернулли):

Подставляем в (1) =>

Найдем u(x):

Подставим полученное уравнение для u(x) в (*). (*) примет вид:

Таким образом, идея метода Бернулли заключается в сведении задачи к последовательному решению ДУ с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения:

Решение: - линейное ДУ первого порядка.

Решим методом Бернулли:

1)

2) Подставим в уравнение (*):

Общее решение:

- Второй метод (вариации произвольной постоянной)

1. Пусть , тогда: (1а)

- общее решение однородного уравнения (1а).

2. Пусть правая часть . Пусть в (2) . Тогда из (2):

Подставим в (1):

Тогда .

Замечание: целесообразно при решении линейных ДУ первого порядка использовать схемы метода вариации произвольной постоянной, а не полученную формулу.

Уравнение бернулли.

Определение. Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли сводится к ЛДУ с помощью замены .

Пример. Найти общее решение уравнения:

Решение:

1. Решим однородное уравнение:

Делаем замену , получаем:

2) Подставляем в исходное неоднородное ЛДУ:

- ЛДУ первого порядка.

Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной:

Решим однородное уравнение:

Решим неоднородное уравнение методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной):

Подставим в неоднородное уравнение:

- общее решение. Прибавим частное решение .

§ 4. Ду высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядков.

Определение. ДУ n-ого порядка называется дифференциальное уравнение:

(4.1)

Если F непрерывна по всем переменным, то (4.1) можно представить:

(4.2)

Задача Коши: (4.3) - условие Коши.

ТЕОРЕМА 4.1(существования и единственности решения задачи Коши 4.2, 4.3) Пусть функция определена в окрестности и непрерывны по всем переменным частные производные первого порядка (по ), тогда задача Коши имеет и при том единственное решение.

УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.