- •Часть 4
- •1. Основные понятия электротехники
- •Инвертирующий усилитель
- •Неинвертирующий сумматор
- •2. Гармонический режим работы цепи
- •Основные правила работы с комплексными числами
- •Метод комплексных амплитуд. Законы Кирхгофа в частотной области
- •Характерные примеры применения метода комплексных амплитуд
- •Баланс мощности для гармонической цепи
- •Резонансные явления в колебательных контурах с источниками гармонического сигнала
- •3. Методы анализа сложных цепей при гармоническом воздействии
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •4. Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
- •4.2. Законы коммутации.
- •4.3. Классический метод расчета переходных процессов
- •8. Строим график (рис.4.8).
- •5. Обеспечение электробезопасности
- •Приложение. Расчет отклика цепи на сложное воздействие
- •Список используемых источников
Резонансные явления в колебательных контурах с источниками гармонического сигнала
Вначале рассмотрим последовательный колебательный контур, находящийся при воздействии источника гармонической ЭДС (рис.2.16).
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для единственного контура этой схемы:
, , , (2.55)
где . Следовательно,
. (2.56)
Из выражения (2.56) видно, что при условии модуль знаменателя наименьший и равен . При указанном условии, эквивалентном следующему условию для частоты гармонического источника:
, (2.57)
ток будет иметь максимальную амплитуду, равную:
. (2.58)
Явление, при котором ток в цепи резко возрастает по модулю при приближении частоты гармонического источника к значению частоты , называется резонансом в последовательном колебательном контуре.
Частота при этом называется резонансной.
Из выражений (2.55) и (2.56) видно, что резонанс в последовательном колебательном контуре происходит при условии , т.е. когда напряжения на емкости и индуктивности компенсируют друг друга. На рис.2.17 приведен график зависимости модуля тока
(2.59)
от частоты источника гармонической ЭДС. При построении графика учтены предельные соотношения: , , .
Резонансное явление в последовательном контуре удобно также пояснить с помощью векторной диаграммы напряжений (рис.2.18а). На этом рисунке представлены на комплексной плоскости векторы , , при произвольной частоте . Из диаграммы видно, что векторы , , в сумме дают вектор . Заметим, что вектор всегда параллелен вектору тока , вектор отстает по фазе на от , а вектор опережает на . Все это следует из полюсных уравнений для резистора, емкости и индуктивности: , , .
При резонансной частоте напряжения и компенсируют друг друга, и вектор напряжения на резисторе совпадает с вектором . При этом вектор тока достигает максимального значения. Естественно, что для построения диаграмм на рис.2.18 необходимо задаться масштабами для напряжений и для тока.
При описании резонанса пользуются понятиями добротности последовательного колебательного контура
, (2.60)
его затуханием
(2.61)
и шириной полосы пропускания резонансного контура по уровню 0,707:
, (2.62)
где и - верхняя и нижняя частоты полосы пропускания; их смысл ясен из рис.2.17. Если выразить через добротность, получим:
, (2.63)
т.е. чем больше добротность контура, тем меньше полоса его пропускания.
Предположим, имеется два последовательных колебательных контура, отличающихся только значениями активных сопротивлений: для первого - , для второго - . Из формул (2.58) и (2.63) следует, что максимальный ток для второго контура будет больше, чем для первого: , а полоса пропускания для второго – меньше, чем для первого: (см. рис.2.19).
Теперь рассмотрим параллельный колебательный контур, находящийся под воздействием гармонического источника тока (рис.2.20).
Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла схемы:
. (2.64)
И обобщенного закона Ома, записанного для трех элементов, следует:
, , , (2.65)
где - общее напряжение, приложенное к трем ветвям, , , - проводимости трех элементов.
Подставляя (2.65) в (2.64), получим:
, (2.66)
где - суммарная проводимость трех параллельно соединенных элементов.
Из анализа выражения (2.66) следует, что при условии
(2.67)
модуль комплексной проводимости становится минимальным:
, (2.68)
а модуль напряжения - максимальным:
. (2.69)
Частота, соответствующая равенству (2.67) –
, (2.70)
называется резонансной частотой параллельного колебательного контура.
Из (2.57) и (2.70) следует, что выражения для резонансных частот параллельного и последовательного колебательных контуров совпадают.
Явление, при котором напряжение в параллельном контуре резко возрастает по модулю при приближении частоты гармонического источника к значению частоты , называется резонансом в параллельном колебательном контуре.
Э то явление можно описать также с помощью векторной диаграммы напряжений и токов (рис.2.21). На рис.2.21а показана возможная диаграмма токов при произвольной частоте , а на рис.2.21б – диаграмма токов при . Из рис.2.21б следует, что при резонансе токи и компенсируют друг друга: .
График зависимости модуля напряжения от частоты аналогичен графику на рис.2.17.
Понятия добротности, затухания и полосы пропускания определяются так же, как и для последовательного колебательного контура.
В качестве одного из многочисленных примеров применения резонансных контуров в цепях при гармоническом воздействии укажем идеальный избирательный усилитель, схема которого приведена на рис.2.22а. Амплитудно - частотная характеристика этого усилителя приведена на рис.2.22б (сплошная линия).
Реальный избирательный усилитель вследствие потерь энергии будет иметь АЧХ, показанную на рис.2.22б пунктирной линией.